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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 84

Considerase que a potência, P , requerida para acionar um ventilador, depende da massa específica do fluido, ρ , da vazão em volume, Q , do diâmetro da hélice, D , e da velocidade angular, ω . Se um ventilador com D 1 = 200   m m fornece Q 1 = 0,4   m 3 / s de ar a ω 1 = 2500   r p m , qual o tamanho esperado para o diâmetro de um ventilador para que o mesmo forneça Q 2 = 2,38   m 3 / s de ar a ω 2 = 1800   r p m , desde que os mesmos fossem geométrica e dinamicamente semelhantes?

Passo 1

Neste problema será necessário obter os parâmetros adimensionais característicos do problema e a partir deles, por meio de semelhança dinâmica, relacionar os diâmetros da hélice do ventilador.

Para resolver o problema será necessário o uso do Teorema de Buckingham.

Como parâmetros conhecidos têm:

- diâmetro 1: D 1 = 200   m m ;

- vazão 1: Q 1 = 0,4   m 3 / s ;

- velocidade angular 1: ω 1 = 2500   r p m ;

- vazão 2: Q 2 = 2,38   m 3 / s ;

- velocidade angular 2: ω 2 = 1800   r p m .

Passo 2

Definindo os parâmetros dimensionais conforme apresentados no enunciado: potência ( P ), velocidade angular ( ω ), vazão ( Q ), diâmetro da hélice ( D ) e massa específica ( ρ ).

Logo o número de parâmetros dimensionais é:

n = 5

Passo 3

Escolhendo as dimensões primárias:

- P = M ∙ L 2 t 3

- ω = 1 t

- Q = L 3 t

- D = L

- ρ = M L 3

Logo, as dimensões primárias são M , L e t , ou seja:

r = m = 3

Passo 4

Os parâmetros repentes serão r = m = 3 .

Neste problema como parâmetros repetentes serão escolhidos ρ , ω e D , os quais representam as características dinâmica, cinética e geométrica, respectivamente.

Passo 5

Número de parâmetros adimensionais ( n - m ):

n - m = 5 - 3 = 2   a d i m e n s i o n a i s  

Passo 6

Os adimensionais a serem obtidos podem ser escritos como:

- π 1

π 1 = P ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = M L 2 t 3 ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     1 + a = 0

L :     2 - 3 a + c = 0

t :   - 3 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = - 1

b = - 3

c = - 5

Logo:

π 1 = P ∙ ρ - 1 ∙ ω - 3 ∙ D - 5

De forma que π 1 vale:

π 1 = P ρ ∙ ω 3 ∙ D 5

- π 2

π 2 = Q ∙ ρ a ∙ ω b ∙ D c

M 0 ∙ L 0 ∙ T 0 = L 3 t ∙ M L 3 a ∙ 1 t b ∙ L c

Montando o sistema linear:

M :     a = 0

L :     3 - 3 a + c = 0

t :   - 1 - b = 0

Resolvendo o sistema:

a = 0

b = - 1

c = - 3

Logo:

π 2 = Q ∙ ρ 0 ∙ ω - 1 ∙ D - 3

De forma que π 2 vale:

π 2 = Q ω ∙ D 3

Passo 7

A partir do adimensional π 2 é possível aplicar semelhança dinâmica para relacionar as duas condições do ventilador, ou seja:

Q 1 ω 1 ∙ D 1 3 = Q 2 ω 2 ∙ D 2 3

O diâmetro da hélice D 2 é dada por:

D 2 3 = D 1 Q 2 Q 1 ω 1 ω 2

D 2 = ( 200 × 10 - 3 ) 2,38 0,4 × 2500 1800 1 3

Portanto, o diâmetro da hélice na situação 2 deve valer:

D 2 = 0,40   m / s

Resposta

D 2 = 0,40   m / s

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