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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 94

5.94 Considere que o filme líquido no Exemplo 5.9 é horizonte (isto é, θ = 0 ° ) e que o escoamento é acionado por uma tensão de cisalhamento constante sobre a superfície superior ( y = h ), π x y = C . Considere o filme de líquido é bastante fino e plano e que o escoamento é completamente desenvolvido com vazão líquida igual a zero (vazão Q = 0 ). Determine o perfil de velocidade u y e o gradiente de pressão d p / d x .

Passo 1

Simplificando a equação de Navier-Stokes, para fluido completamente desenvolvido:

d 2 u d y 2 = 1 μ d p d x

Separando as variáveis e integrando em y:

d u d y = 1 μ d p d x y + C 1

De novo:

u = 1 μ d p d x y 2 2 + C 1 y + C 2

Passo 2

Aplicando as condições de contorno:

Em y = 0 :

u 0 = 0

0 = 1 μ d p d x 0 2 2 + C 1 0 + C 2

C 2 = 0

Em y = h :

  π x y = C

μ d u d y = C

d u d y = C μ

Aplicando lá em cima:

C μ = 1 μ d p d x h + C 1

C 1 = 1 μ C - d p d x h

O perfil de velocidade, fica, então:

u y = 1 μ d p d x y 2 2 + 1 μ C - d p d x h y

Passo 3

Como o fluxo é zero:

0 = ∫ 0 h 1 μ d p d x y 2 2 + 1 μ C - d p d x h y d y

0 = 1 μ d p d x y 3 6 + 1 μ C - d p d x h y 2 2 0 h  

1 μ d p d x h 3 6 + 1 μ C - d p d x h h 2 2 = 0

1 μ d p d x h 3 6 + 1 μ C h 2 2 - 1 μ d p d x h 3 2 = 0

d p d x h 3 6 - 3 d p d x h 3 6 = - C h 2 2

- d p d x h 3 3 = - C h 2 2

d p d x = 3 2 C h

Resposta

u y = 1 μ d p d x y 2 2 + 1 μ C - d p d x h y

d p d x = 3 2 C h

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