O abelhão pode ficar suspenso no ar à velocidade igual a zero, batendo as asas. Usando os dados do Problema   7.123 , conceba uma teoria para asas móveis, em que a batida descendente seja modelada como uma placa plana curta normal ao escoamento ( T a b e l a   7.3 ) e a batida ascendente seja como uma pluma, com arrasto aproximadamente igual a zero. Quantas batidas por segundo desse modelo de asa são necessárias para sustentar o peso do abelhão? (Medidas reais em abelhas mostram uma taxa de batidas de asas de 194   H z .)

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora matar essa questão!

Vamos fazer um esqueminha da nossa abelha para entender as variáveis!

Vamos considerar que quando a asa tá subindo devido sua característica de pena, ela terá força de sustentação com valor 0 .

E quando estiver descendo para compensar a ausência de força, cada asa irá produzir 0,75   P , para compensar ausência de sustentação durante a subida!

Passo 2

Assumindo a condição de placa plana curta, da tabela 7.3 temos que:

C A = 1,2

Considerando um elemento d r de comprimento da asa da abelha, temos:

d F = ρ 2 C A V 2 b ⋅ d r

Lembrando que:

V = r d θ d t = r Ω θ 0 sen ⁡ Ω t

Logo:

F = ∫ 0 R ρ 2 C A r Ω θ 0 sen ⁡ Ω t 2 b ⋅ d r

Integrando tudo, temos que:

F = ρ 6 C A Ω 2 θ 0 2 b R 3 sen 2 ⁡ Ω t m é d ≈ 0,75 P

Passo 3

Para uma batida de asas completa temos:

θ 0 = π 2       e         sen 2 ⁡ Ω t m é d ≈ 1 2

Substituindo tudo na nossa equação:

F = 0,75 ⋅ 0,88 ⋅ 10 - 3 k g ⋅ 9,81 m s 2

F ≈ 1,225 k g m 3 12 1,2 Ω 2 π 2 2 7,28 ⋅ 10 - 3   m 8,65 ⋅ 10 - 3   m 3

Resolvendo pra Ω

Ω ≈ 2132 r a d s 2 π ≈ 340   H z

O valor é cerca de 75 % maior do que o valor Real, mas o valor encontrado se trata apenas de uma teoria pura!

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

Ω ≈ 340   H z

O valor é cerca de 75 % maior do que o valor medido, mas o valor encontrado se trata apenas de uma teoria pura!

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