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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 109

Uma aleta de alumínio k = 237 W m     ·   K de 4 mm de diâmetro e 10 cm de comprimento está fixada a uma superfície. Considerando que o coeficiente de transferência de calor é 12 W m 2   ·   K , determine o erro percentual na taxa de transferência de calor a partir da aleta quando a suposição de aleta infinitamente longa é usada em vez da suposição da ponta da aleta adiabática.

Passo 1

Bora pra mais umaa!!

Quando nós usamos a suposição da aleta infinitamente longa teremos que a troca de calor real para a aleta é dada como:

Q m u i t o   l o n g a ˙ = h p k A c ( T b - T ∞ )

Para uma aleta circular de diâmetro D também sabemos que:

A c = π D 2 4

p = π D

Vamos substituir??

Q m u i t o   l o n g a ˙ = h k π D π D 2 4 ( T b - T ∞ )

Q m u i t o   l o n g a ˙ = h k π 2 D 3 4 ( T b - T ∞ )

Agora que nós já temos a fórmula é só colocar os dados que o problema nos deu para achar o valor:

Q m u i t o   l o n g a ˙ = 12 W m 2   ·   K × 237 W m     ·   K × π 2 ( 0,004   m ) 3 4 ( T b - T ∞ )

Q m u i t o   l o n g a ˙ = 0,02119   W K ( T b - T ∞ )

Como não temos nada das temperaturas vamos deixá-las assim, ok?

Passo 2

Agora quando a aleta é adiabática a troca de calor é calculada de maneira diferente, certo?

Vamos ver como!!

Q a d i a b á t i c o ˙ = h p k A c T b - T ∞ t a n h   L h p k A c    

Substituímos novamente a área e o perímetro que vimos no passo anterior:

Q a d i a b á t i c o ˙ = h k π D π D 2 4 T b - T ∞ t a n h   L h π D k π D 2 4  

Simplificamos:

Q a d i a b á t i c o ˙ = h k π 2 D 3 4 T b - T ∞ t a n h   L 4 h k D  

Agora é só substituir os dados do problema:

Q a d i a b á t i c o ˙ = 12 W m 2   ·   K × 237 W m     ·   K × π 2 ( 0,004   m ) 3 4 T b - T ∞ t a n h   0,1   m 4 12 W m 2   ·   K 237 W m     ·   K ( 0,004   m )  

Q a d i a b á t i c o ˙ = 0,02119   W K T b - T ∞ × 0,6116

Q a d i a b á t i c o ˙ = 0,012962   W K T b - T ∞

Passo 3

Belezaa!

Já achamos o calor considerando a aleta infinitamente longa e considerando ela adiabática, agora nós podemos achar o erro.

E como??

Vamos usar uma fórmula bem simples:

E r r o = Q m u i t o   l o n g a ˙ - Q a d i a b á t i c o ˙ Q m u i t o   l o n g a ˙ × 100

Substituindo:

E r r o = 0,02119   W K ( T b - T ∞ ) - 0,012962   W K T b - T ∞ 0,02119   W K ( T b - T ∞ ) × 100

Essas temperatura a gente vai cortar e ficaremos com:

E r r o = 0,02119 - 0,012962 0,02119 × 100

E r r o = 38,83 %

Prontinho! Encontramos o erro! ☺

Resposta

E r r o = 38,83 %

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