Enunciado

Ar ambiente é aspirado para o interior de um tubo de área constante isolado termicamente através de um bocal convergente com contornos suaves. As condições ambientes são T = 27 ° C e p = 101,3   k P a   ( a b s ) . O diâmetro do tubo é D = 25   m m . A pressão na entrada do tubo (saída do bocal) é p 1 = 90   k P a   ( a b s ) . Determine (a) a vazão mássica no tubo e (b) a faixa de pressões de saída para as quais ocorrerá choque na saída do tubo.

Passo 1

Tá legal! Como o enunciado nos disse que o tubo é isolado termicamente, então, da relação isentrópica, temos:

T 0 T = p 0 p k - 1 k

Dessa forma, a relação para o número de Mach a seguir:

T 0 T = 1 + k - 1 2 M 2

Se torna:

p 0 p k - 1 k = 1 + k - 1 2 M 2

E, isolando o número de Mach:

p 0 p k - 1 k - 1 . 2 k - 1 = M 2 → M = p 0 p k - 1 k - 1 . 2 k - 1

Então, substituindo os valores conhecidos para o ponto 1, temos:

M 1 = 101,3 . 10 3 90 . 10 3 1,4 - 1 1,4 - 1 . 2 1,4 - 1 → M 1 = 0,414

Passo 2

Agora, retornando à equação de Mach com a temperatura, temos:

T 0 T = 1 + k - 1 2 M 2

Substituindo os valores conhecidos para o ponto 1, temos:

27 + 273 T 1 = 1 + 1,4 - 1 2 0,414 2 → T 1 = 290   K

Então, nessa condição, a velocidade c no ponto 1 será:

c 1 = k R T 1

Substituindo os valores conhecidos, temos:

c 1 = 1,4 ( 287,05 ) ( 290 ) → c 1 = 341,4   m / s

Então, a velocidade em 1 será:

V 1 = M 1 c 1 = 0,414 341,4 → V 1 = 141,3   m / s

E, agora, calculando a densidade do ar nas condições de entrada, temos:

ρ 1 = p 1 R T 1 = 90.10 3 287,05 290 → ρ 1 = 1,08   k g / m 3

E então, a vazão mássica no tubo será:

m ˙ = ρ 1 V 1 A = ρ 1 V 1 π D 2 4 = 1,08 141,3 π 0,025 2 4 → m ˙ = 7,49.10 - 2   k g / s

Passo 3

Agora, como sabemos que no ponto 2 temos M 2 = 1 , dessa forma, utilizando a equação de Mach vista no passo 1, só que agora para o ponto 2, temos:

T 0 T = 1 + k - 1 2 M 2 → 27 + 273 T 2 = 1 + 1,4 - 1 2 1 2 → T 2 = 250   K

E, agora, para a velocidade do som no ponto 2, temos:

c 2 = k R T 2 = 1,4 ( 287,05 ) ( 250 ) → c 2 = 317   m / s

Com isso, a velocidade no ponto 2 será:

V 2 = M 2 c 2 = 1 317 → V 2 = 317   m / s

E, da continuidade, como temos a mesma massa entrando e saindo, então temos:

ρ 1 V 1 A = ρ 2 V 2 A

Substituindo os valores conhecidos, temos:

1,08 141,3 = ρ 2 317 → ρ 2 = 0,48   k g / m 3

Com isso, a pressão no ponto 2 será:

p 2 = ρ 2 R T 2 = 0,48 287,05 250 → p 2 = 34,45   k P a

Dessa forma, haverá choque para qualquer pressão na saída que for menor do que 34,45 kPa.

Resposta

m ˙ = 7,49.10 - 2   k g / s

p 2 ≤ 34,45   k P a

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