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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 22

Ar, escoando em regime permanente, atravessa uma série de três tanques. O primeiro tanque é muito grande, e contém ar a 650 kPa e 35°C. O ar escoa desse para o segundo tanque através de um bocal convergente com área de saída de 1 cm². Finalmente, o ar escoa do segundo para o terceiro tanque, também muito grande, através de um bocal idêntico. A vazão através dos dois bocais é a mesma, e o escoamento neles é isentrópico. A pressão no terceiro tanque é 65 kPa. Encontre a vazão mássica e a pressão no segundo tanque.

Passo 1

Tá legal! O escoamento então começa a partir das condições de estagnação, onde temos:

T 0 1 = 35 + 273 → T 0 1 = 308   K

p 0 1 = 650   k P a

E passa pelo primeiro bocal de maneira isentrópica até o segundo tanque. A pressão de saída do primeiro bocal é a mesma pressão de estagnação no segundo tanque, que por sua vez é menor que p 0 1 . Mas a temperatura de estagnação será constante pois não haverá troca de energia entre o sistema e o ambiente, então, teremos:

T 0 2 = T 0 1

p 0 2 < p 0 1

Essa redução na pressão de estagnação será acompanhada de um aumento de entropia em conjunto com um aumento na área transversal crítica para o escoamento, ou seja, teremos:

A 2 * > A 1 *

A pressão final é baixa p b = 65   k P a e é bem menor que a presão de estagnação de entrada, então, haverá um bocal bloqueado. E como os bocais são convergentes, o bloqueio ocorrerá na garganta do segundo bocal, pois a área crítica do segundo é menor do que a do primeiro, e a área mínima (em comparação com os dois bocais) será a área crítica do segundo.

Passo 2

Então, da tabela E.1 do apêndice E, temos a seguinte relação para M = 1 :

p p 0 ≤ 0,5283

Então, teremos:

p 1 * = p p 0 p 0 1 = 0,5283 650 → p 1 * = 343,4   k P a

Então, conforme vimos no passo 1, devemos ter:

p 0 2 > 343,4   k P a

Agora, a pressão de estagnação no segundo tanque pode ser estimada onde o escoamento é bloqueado na garganta do segundo bocal na pressão:

p e 2 = 65   k P a

Então, para M e 2 = 1 , da tabela E.1 novamente, temos:

p p 0 = 0,5283

Entao, a pressão de estagnação será:

p 0 2 = p e 2 p p 0 = 65 0,5283 → p 0 2 = 123,04   k P a < p 1 *

Passo 3

Agora nós vamos comparar as vazões mássicas. Sabemos que as vazões mássicas nas saídas dos dois bocais, sabendo que a saída do segundo é bloqueada. Então, sabendo que:

A e 1 = A e 2 ; p e 1 = p 0 2 ; T 0 1 = T 0 2

Nesse caso, utilizando a equação 13.10a para o bocal bloquado, teremos:

m ˙ e 1 = m ˙ e 2 → ρ e 1 V e 1 A e 1 = A e 2 p 0 2 k R T 0 2 2 k + 1 k + 1 2 k - 1

Simplificando as áreas A e 1 e A e 2 que são iguais e reescrevendo a densidade e velocidade na saída do bocal 1, temos:

p e 1 R T e 1 M e 1 k R T e 1 = p 0 2 k R T 0 2 2 k + 1 k + 1 2 k - 1 → p e 1 M e 1 k R T e 1 = p 0 2 k R T 0 2 2 k + 1 k + 1 2 k - 1

Agora, simplificando as temperaturas e a pressão, chegamos em:

M e 1 1 T e 1 = 1 T 0 2 2 k + 1 k + 1 2 k - 1

Como sabemos que T 0 2 = T 0 1 então a equação acima se torna:

M e 1 T 0 1 T e 1 = 2 k + 1 k + 1 2 k - 1

Da relação de temperatura, podemos reescrever a equação como:

M e 1 1 + k - 1 2 M e 1 2 1 2 = 2 k + 1 k + 1 2 k - 1

Substituindo os valores conhecidos e utilizando uma calculadora, conseguimso encontrar o número de Mach na saída do bocal 1:

M e 1 1 + 1,4 - 1 2 M e 1 2 1 2 = 2 1,4 + 1 1,4 + 1 2 1,4 - 1 → M e 1 = 0,5613

Passo 4

Agora, através da tabela E.1 novamente, para o número de Mach obtido no passo 3, teremos:

p p 0 = 0,80745 ; T T 0 = 0,9407

Então, teremos as seguintes propriedades na saída do bocal 1:

p e 1 = p p 0 p 0 1 = 0,80745 650 → p e 1 = 524,84   k P a

T e 1 = T T 0 T 0 1 = 0,9407 308 → T e 1 = 289,7   K

E agora podemos encontrar a velocidade na saída do bocal 1:

V e 1 = M e 1 k R T e 1 = 0,5613 1,4 ( 286,9 ) ( 289,7 ) → V e 1 = 191,47   m / s

E a densidade do ar na saída do bocal 1 será:

ρ e 1 = p e 1 R T e 1 = 524,84.10 3 286,9 289,7 → ρ e 1 = 6,315   k g / m 3

E a vazão mássica será:

m ˙ = ρ e 1 A e 1 V e 1 = 6,315 1.10 - 4 191,47 → m ˙ = 0,121   k g / s

Agora vamos conferir esse valor com a equação para a vazão mássica bloqueada descrita no passo 3:

m ˙ b l o q u e a d o = A e 2 p 0 2 k R T 0 2 2 k + 1 k + 1 2 k - 1

Substituindo os valores conhecidos, temos:

m ˙ b l o q u e a d o = 1.10 - 4 524,84 1,4 286,9 308 2 1,4 + 1 1,4 + 1 2 1,4 - 1

m ˙ b l o q u e a d o = 0,121   k g / s

E, por fim, a pressão na saída do bocal 2 será encontrada novamente com a ajuda da Tabela E.1 para M e 1 = 1 , onde temos:

p p 0 = 0,5283

Então a pressão será:

p e 2 = p p 0 p 0 2 = 0,5283 524,84 → p e 2 = 277,3   k P a

Resposta

m ˙ = 0,121   k g / s

p e 2 = 277,3   k P a

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