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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 44

Um avião de transporte a jato, com cabine pressurizada, viaja a 11 km de altitude. A temperatura e a pressão na cabine são, inicialmente, 25ºC e o equivalente a 2,5 km de altitude. O volume interior da cabine é 25 m³. Ar escapa através de um pequeno orifício com área efetiva de escoamento de 0,002 m². Calcule o tempo requerido para que a pressão na cabine decresça de 40%. Trace um gráfico da pressão na cabine como uma função do tempo.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Do problema, sabemos que:

P i = 74,7   k P a   A l t i t u d e   d e   2,5   k m             T i = 298   K               P f = 0,6   P i = 44,8   k P a      

Obs 1: Da tabela A.3 (Apêndice A), podemos encontrar a pressão relativa a diferentes altitudes.

Obs 2: Propriedades do ar: R = 286,9   J K g K   ; k = 1,4   .

Para verificar se o fluxo é bloqueado deve ser obedecido que: P b P 0 < 0,528

Da tabela A.3, temos que P b = 22,7   k P a (para 11 km de altitude). Assim:

22,7   k P a 74,7   k P a = 0 , 304     →     0 , 304 < 0,528

Portanto, o fluxo é bloqueado ( M = 1 ) .

Passo 2

Por continuidade, temos:

∂ ∂ t ∫ ρ d ∀ d c v = ∂ ∂ t ∫ ρ V → d A → c s = - ρ e V e A e

Então:

∀   d ρ d t = - ρ e V e A e

Bem, analisemos:

T T e = 1 + k - 1 2 M 2 = 1 + 1,4 - 1 2 1 2 = 1,2                 → T e = 0,8334   T    

E

ρ ρ e = 1 + k - 1 2 M 2 1 k - 1 = 1 + 1,4 - 1 2 1 2 1 1,4 - 1 = 1,5774         →       ρ e = 0,634   ρ

E

V e = M k R T e =   k R 0,8334   T         →       V e = 0,9129 k R T   m s

Passo 3

Então:

∀   d P d t = - ρ e V e A e = - 0,634 ρ * 0,9129 k R T * A e         →     ∀   d P d t = - 0,5787 ρ * k R T * A e       ( 1 )

Assim, devemos lembrar que, para uma expansão isentrópica, podemos fazer algumas considerações, tais como:

P ρ k = c t e = ρ R T ρ k                                     e                                         ρ k - 1 T = c t e

Então:

P k - 1 T = P i k - 1 T i         o u         T = T i ρ i ρ 1 - k     e       T = T i   ρ k - 1 2 ρ i k - 1 2                 ( 2 )

Substituindo 2 na equação 1:

∀   d ρ d t = - 0,5787 ρ * k R * A e * T i   ρ k - 1 2 ρ i k - 1 2

Organizando:

∀   d ρ d t = - 0,5787 * k R * A e * T i   ρ i k - 1 2 * ρ k + 1 2  

Assim, como ρ é o que nos importa, todo o restante é constante, então podemos escrever a equação como:

  d ρ d t = - c 1 ρ k + 1 2         → d ρ ρ k + 1 2 =   - c 1 d t

Integramos os dois lados da equação:

∫ d ρ ρ k + 1 2 = ∫ - c 1 d t

Passo 4

Resolvendo a integral, podemos chegar a:

c 1 t = 2 k - 1 * ρ i k - 1 2 ρ i ρ f k - 1 2 - 1           → 0,5787 * k R * A e ∀ * T i   ρ i k - 1 2 * t = 2 k - 1 * ρ i k - 1 2 ρ i ρ f k - 1 2 - 1  

Lembrando que, como ρ ρ k = c t e ;

ρ i ρ f = ρ i ρ f 1 k

Assim:

0,5787 * k R * A e ∀ * T i   * t = 2 k - 1 ρ i ρ f k - 1 2 k - 1

Enfim, substituindo numericamente os valores das constantes:

0,5787 * 1,4 * 286,9 N * m k g K * k g   m N   s 2 * 0,002   m ² 25   m ³ * 298   K * t = 2 1,4 - 1 * 1 0,6 k - 1 2 k - 1

0,01602   t = 0,3786

Portanto:

t = 23,6   s

Resposta

Portanto: t = 23,6   s

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