Enunciado

Uma barra bidimensional tem geometria, mostrada na Fig. P5-128, com temperatura especificada T A sobre a superfície superior e T B sobre a superfície inferior e isolamento nas laterais. A condutividade térmica da parte superior da barra é k A , enquanto a da parte inferior é k B . Para uma malha definida por ∆ x = ∆ y = l , escreva a forma mais simples da matriz de equações A T = C , usada para determinar o campo de temperatura permanente na seção transversal da barra. Identifique na figura os nós da malha onde você irá escrever o balanço de energia.

Passo 1

Primeiramente, iremos assumir algumas considerações para simplificar o problema. São elas:

  • A transferência de calor através do corpo é bidimensional e em regime permanente.
  • A condutividade térmica k é constante.
  • Não há geração de calor.

De posse dessas características, e sabendo que existe um eixo de simetria na figura e três temperaturas desconhecidas nos nós centrais ( 1 ,   2 e 3 ) , podemos entender melhor o sistema com o qual a questão pretende trabalhar.

Passo 2

A formulação de diferenças finitas fica da seguinte maneira:

1 :

k A T A -   T 1 L L 2 +   k A T 2 -   T 1 L L 2 +   k B T 2 -   T 1 L L 2 +   k B T 3 -   T 1 L L 2 = 0

k A T A -   T 1 + k A T 2 -   T 1 + k B T 2 -   T 1 + k B T 3 -   T 1 = 0

- 2 k A +   k B T 1 + k A +   k B T 2 +   k B T 3 =   - k A T A

2 :

k A T A -   T 2 L L +   k A T 1 -   T 2 L L 2 +   k B T 1 -   T 2 L L 2 +   k B T B -   T 2 L L +   k B T B -   T 2 L L 2 +   k A T B -   T 2 L L 2 = 0

2 k A T A -   T 2 + k A T 1 -   T 2 + k B T 1 -   T 2 + 2 k B T B -   T 2 + k B T B -   T 2 + k A T B -   T 2 = 0

k A +   k B T 1 - 4 k A +   k B T 2 =   - 2 k A T A - ( k A + 3 k B ) T B

3 :

k B T 1 -   T 3 L L 2 +   k B T B -   T 3 L L +   k B T B -   T 3 L L 2 = 0

T 1 -   T 3 + 2 T B -   T 3 + T B -   T 3 = 0

T 1 - 4 T 3 =   - 3 T B

Passo 3

A matriz de equações fica da seguinte maneira:

- 2 ( k A +   k B ) k A +   k B k B k A +   k B - 4 ( k A +   k B ) 0 1 0 - 4 T 1 T 2 T 3 =   k A T A - 2 k A T A - ( k A + 3 k B ) T B - 3 T B

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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