Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 88
Um cilindro curto de latão (ρ = 8530 kg/m³, , ) de 4 de diâmetro e 20 de altura está inicialmente a uma temperatura uniforme de . Agora, o cilindro é colocado no ar atmosférico a 20 °C, e ocorre transferência de calor por convecção com coeficiente de transferência de calor . Calcule (a) a temperatura do centro do cilindro; (b) a temperatura do centro da superfície superior do cilindro e (c) a transferência total de calor a partir do cilindro 15 minutos após o início do resfriamento.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.
Em primeiro lugar, o próprio enunciado afirma que o problema trata de um cilindro curto. Sabe o que isso significa? A transferência de calor ocorre tanto na direção x quanto na direção r para desse cilindro.
No entanto, como todo o cilindro está imerso no mesmo fluido (ar) e submetido ao mesmo coeficiente de transferência de calor, além de não haver geração, podemos aproximar a resolução desse cilindro multidimensional como o produto das soluções analíticas de um cilindro infinito e de uma parede plana, dessa forma:
Ou seja:
Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:
Passo 2
Agora, devemos calcular os adimensionais (Número de Biot e Número de Fourier) para cada uma das geometrias analisadas.
Vamos lembrar que a dimensão característica para um cilindro infinito é o seu raio (R) e para uma parede plana submetida a convecção em ambos os lados é metade de sua espessura total, que, nesse caso, é a altura do cilindro (2L). Assim:
Primeiro, vamos calcular o Número de Fourier (τ) para as duas geometrias. Vamos lembrar que, segundo o enunciado o processo ocorre em 15, ou seja, 900 . Sendo assim:
Note que ambos os valores de τ foram maiores que 0,2. Isso garante que nosso problema está sendo analisando em tempos muito longos, e podemos aproximar as soluções individuais dos perfis de temperatura para:
Agora, vamos calcular o número de Biot para as duas geometrias:
Iremos agora até a Tabela 4-2 (página 239), onde vamos usar os valores de para ambas as geometrias para encontrar e para as duas:
Passo 3
Vamos resolver agora a letra (a), que pede que a gente calcule a temperatura no centro do cilindro.
Bem, o centro do cilindro aqui é basicamente o ponto onde e , bastando que a gente substitua nas equações que eu te mostrei no passo anterior.
Primeiro, vamos resolver para o cilindro:
Devemos ir até a Tabela 4-3 (página 239) para encontrar o valor de .
Pela Tabela, . Sendo assim:
Agora, vamos resolver para a parede plana:
Pois .
Agora, basta multiplicar as soluções para encontrar o resultado para o cilindro curto:
Devemos lembrar, ainda, que
Sendo assim:
Passo 4
A letra (b) pede que a gente calcule a temperatura do centro da superfície superior do cilindro. O procedimento é igual ao anterior, a única diferença é que o centro da superfície superior do cilindro é onde 0 .
Bem, no passo anterior nós já calculamos o valor da solução adimensional do cilindro infinito para 0. Basta agora que a gente calcule a solução adimensional da parede plana para
Sendo assim:
Passo 5
A letra (c) pede que a gente a transferência total de calor no tempo dado. Para isso, vamos utilizar a seguinte equação:
Para calcular a quantidade de calor transferido para as geometrias analisadas usamos as seguintes equações:
Mas, antes de tudo, devemos calcular o valor de que é a quantidade de calor máxima que pode ser transferida do cilindro:
Onde é o volume do cilindro.
Assim:
Devemos calcular também:
Devemos ir novamente na Tabela 4-3, onde iremos encontrar partir da interpolação entre os valores de e disponíveis na tabela.
Logo, obtemos:
Além disso, vamos calcular para a parede plana:
Agora sim, finalmente podemos calcular a quantidade total de calor trocada pelo cilindro:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)