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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 90

Um cilindro semi-infinito ( k   =   237   W / m . K   e   α   =   9,71 x 10 - 5 m ² / s ) de diâmetro D = 15 c m   de altura está inicialmente a uma temperatura uniforme de T i = 115   ° C . Agora o cilindro é colocado na água a 10 °C, e ocorre transferência de calor por convecção com coeficiente de transferência de calor h = 140   W / m ² . K . Determine a temperatura no centro do cilindro a 5 cm da superfície final e 8 minutos após o início do resfriamento.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Em primeiro lugar, o próprio enunciado afirma que o problema trata de um cilindro semi-infinito. Sabe o que isso significa? A transferência de calor ocorre tanto na direção x (como um sólido semi-infinito) quanto na direção r para desse cilindro.

No entanto, como todo o cilindro está imerso no mesmo fluido (água) e submetido ao mesmo coeficiente de transferência de calor, além de não haver geração, podemos aproximar a resolução desse cilindro multidimensional como o produto das soluções analíticas de um cilindro infinito e de uma parede plana, dessa forma:

ϴ c i l i n d r o s e m i - i n f i n i t o = ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o ∙   ϴ s ó l i d o s e m i - i n f i n i t o  

Ou seja:

T r , x , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o s e m i - i n f i n i t o = T r , t - T ∞ T i - T ∞ c i l i n d r o i n f i n i t o ∙ T x , t - T ∞ T i - T ∞ s ó l i d o s e m i - i n f i n i t o

Agora, pra gente não se perder, vamos guardar as propriedades que vamos usar nos próximos passos:

T i = 115   ° C     T ∞ = 10   ° C k   =   237   W / m . K α   = 9,71 x 10 - 5   m ² / s h =   140   W / m ² . K

Passo 2

Em primeiro lugar, vamos calcular o valor da solução adimensional para o cilindro infinito.

Antes, devemos calcular os adimensionais (Número de Biot e Número de Fourier) para a solução do perfil de temperatura adimensional para o cilindro infinito.

Vamos lembrar que a dimensão característica para um cilindro infinito é o seu raio (R). Assim:

R = ( 15   c m ) / 2   = 7,5   c m   = 0,075   m

Primeiro, vamos calcular o Número de Fourier (τ) para as duas geometrias. Vamos lembrar que, segundo o enunciado o processo ocorre em 8   m i n , ou seja, 480 s . Sendo assim:

τ c i l i n d r o i n f i n i t o =   α t R ² =   ( 9,71 x 10 - 5   m ² / s ) ( 480 s ) ( 0,075   m ) ² = 8,29

Note que o valor de τ foi maior que 0,2. Isso garante que nosso problema está sendo analisado em tempos muito longos, e podemos aproximar a solução do perfil de temperatura para:

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o ( r , t ) =   A 1 e - λ 1 ² τ ⁡ J 0 ( λ 1 r / R )

Agora, vamos calcular o número de Biot:

B i c i l i n d r o i n i f i t o =   h R k =   ( 1 40   W / m ² . K ) ( 0,075   m )   237   W / m . K = 0,044    

Iremos agora até a Tabela 4-2 (página 239), onde vamos usar os valores de B i para encontrar A 1 e λ 1 . Como não há um valor tabelado para 0,044, vamos fazer uma interpolação entre os valores de 0,04 e 0,06:

B i c i l i n d r o i n i f i t o = 0,04   →   λ 1 = 0,2814   A 1 = 1,0099

B i c i l i n d r o i n i f i t o = 0,06   →   λ 1 = 0,3438   A 1 = 1,0148

Interpolando:

B i c i l i n d r o i n i f i t o = 0,04 4   →   λ 1 = 0,2939   A 1 = 1,0109

Podemos agora resolver esse problema substituindo os valores de A 1 e λ 1 na solução adimensional do cilindro infinito. Vamos lembrar que se o problema está no centro do cilindro, então r = 0 . Sendo assim:

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o 0,48 0 s = 1,0109 e - 0,2939 2 8,29 ⁡ J 0 ( 0,2939 ) 0 R = ( 0,49400 ) J 0 ( 0 )

Devemos ir até a Tabela 4-3 (página 239) para encontrar o valor de J 0 ( 0 ) .

Pela Tabela, J 0 0 = 1 . Sendo assim:

ϴ c i l i n d r o i n f i n i t o 0,48 0 s = 0,49400 1 = 0,49400

Passo 3

Agora vamos calcular a solução adimensional para o sólido semi-infinito. Como ele está submetido a uma condição de contorno convectiva, a equação que modela essa situação é:

ϴ s ó l i d o s e m i - i n f i n i t o =   1 - e r f c x 2 α t - e x p h x k + h ² α t k ² ∙ e r f c x 2 α t + h α t k

Queremos avaliar a temperatura a 5 c m (0,05 m ) da superfície. Vamos dividir a equação para resolvê-la por partes.

e r f c x 2 α t =   e r f c 0,0 5   m 2 ( 9,71 x 10 - 5   m ² / s ) (   48 0   s ) ≅   e r f c 0,1158    

Indo na Tabela 4-4 (página 251), podemos encontrar o valor da função erro complementar. Como não há um valor tabelado muito próximo a este, vamos precisar fazer uma interpolação entre os valores de e r f c 0,10     e e r f c 0,12 . Sendo assim:

e r f c 0,1158   = 0,8699

Além disso,

e x p (   140   W m ² . K ) ( 0,0 5   m ) 237   W m . K + ( 140   W m ² . K ) ² (   9,71 x 10 - 5   m ² s ) ( 48 0   s ) ( 237   W m . K ) ² = e x p 0,0458  

→ e x p 0,0458 =   1,047

E, por fim,

e r f c 0,05   m 2 9,71 x 10 - 5 m ² s (   48 0   s ) +   140 W m ² . K 9,71 x 10 - 5 m ² s (   48 0   s )   237   W m . K    

=       e r f c 0,2433

Agora devemos ir novamente na Tabela 4-4. Podemos aproximar este cálculo para o valor de e r f c 0,24 , que é tabelado. Sendo assim:

e r f c 0,2433 ≅ 0,7343

Por fim, vamos substituir esses valores na equação:

ϴ s ó l i d o s e m i - i n f i n i t o =   1 ( 0,8699 - 1,047 0,7343 ) = 1 - 0,1011 = 0,8989

Resposta

Vamos agora substituir os valores de cada solução individual na equação que eu te mostrei no Passo 1:

ϴ c i l i n d r o s e m i - i n f i n i t o =     0,49400 0,8989 = 0,444 1

Portanto:

T 0 , 5   c m ,   8   m i n - 10   ° C 115   ° C - 10   ° C =   0,444 1   →   T 0,5   c m ,   8   m i n = 56,63   ° C  

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