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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 27

A circular corrugated-metal water channel has a slope of

1:800 and a diameter of 6 ft. (a) Estimate the normal discharge, in gal/min, when the water depth is 4 ft. (b) For this

condition, calculate the average wall shear stress.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere o pequeno triângulo superior direito;

c o s ⁡ β = y - R R

Aqui, y é a profundidade da água e R é o raio do círculo.

c o s ⁡ β = y - R R β = c o s - 1 ⁡ y - R R   = c o s - 1 ⁡ 4 - 3 3   = 70.5 ∘

Daqui

θ   = 180 ∘ - β   = 180 ∘ - 70.5 ∘   = 109.5 × π 180   = 1.91  rad 

Passo 2

Calcular a área do canal circular parcialmente completo usando a relação;

A = R 2 θ - s i n ⁡ 2 θ 2

Aqui, R é o raio do círculo.

A   = R 2 θ - s i n ⁡ 2 θ 2   = 3 2 1.91 - s i n ⁡ ( 2 × 1.91 ) 2   = 16.89 f t 2

Passo 3

O raio hidráulico é dado pela relação;

R h = R 2 1 - s i n ⁡ 2 θ 2 θ

Substituindo valores

R h   = R 2 1 - s i n ⁡ 2 θ 2 θ   = 3 2 1 - s i n ⁡ ( 2 × 1.91 ) 2 × 1.91   = 1.47 f t

Passo 4

(a) O valor da inclinação é:

S 0   = 1 800   = 0.00125

O fator de Manning n para metal corrucado é 0.022

A taxa de descarga normal é dada por,

Q = 1.486 n A R h 2 / 3 S 0 1 / 2

Substituindo valores

Q   = 1.486 n A R h 2 / 3 S 0 1 / 2   = 1.486 0.022 × 16.89 × 1.47 2 / 3 × 0.00125 1 / 2   = 52.14 f t 3 / s

Passo 5

Converta a descarga de f t 3 / s para galão / m i n .

Q   = 52.14 f t 3 / s   = 52.14 f t 3   s × 7.48052   gal õ es   1 f t 3 × 60   s   m i n   = 23402.05   gal õ es   / m i n

Portanto, a descarga normal é 23402.05 g a l / m i n . Converta a densidade da água de k g / m 3 para slug/ f t 3 .

ρ   = 998   k g / m 3   = 998   k g   m 3 × 0.0685  slug  1   k g × 1   m 3 35.315 f t 3   = 1.94 s l u g / f t 3

Converta a aceleração devido à gravidade em m / s 2 aceleração devido à gravidade em f t / s 2 .

g   = 9.81   m / s 2   = 9.81   m   s 2 × 3.281 f t 1   m   = 32.19 f t / s 2

Passo 6

b) Agora, a tensão média de cisalhamento da parede é:

τ w = ρ g R h S 0

Aqui, ρ é a densidade, g é a aceleração devido à gravidade.

τ w   = ρ g R h S 0   = 1.94 × 32.19 × 1.47 × 0.00125   = 0.114 l b f / f t 2

Portanto, a tensão média de cisalhamento da parede é 0.114 l b f / f t 2 .

Resposta

a) Q = 23402.05  gallon  / m i n

b) τ w = 0.114 l b f / f t 2

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