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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 55

Começando com um balanço de energia no elemento de volume, obtenha a equação de diferenças finitas permanente bidimensional para nó geral interno em coordenadas retangulares de T ( x ,   y ) para o caso de condutividade térmica variável e geração de calor uniforme.

Passo 1

Vamos lá, primeiramente vamos considerar um volume de controle de tamanho ∆ x = ∆ y × 1 , com geração de calor contante e   ̇ e condutividade térmica k .

Aplicando o balanço de energia em torno de um elemento ( m , n ) , temos:

Q ˙ c o n d ,   e s q + Q ˙ c o n d ,   s u p + Q ˙ c o n d ,   d i r + Q ˙ c o n d ,   i n f + G ˙ e l e m e n t o = ∆ E e l e m e n t o ∆ t

Em regime permanente a equação se torna:

Q ˙ c o n d ,   e s q + Q ˙ c o n d ,   s u p + Q ˙ c o n d ,   d i r + Q ˙ c o n d ,   i n f + G ˙ e l e m e n t o = 0

Passo 2

Desenvolvendo a equação nas quatro direções...

k m , n ∆ y × 1 T m - 1 , n - T m , n ∆ x + k m , n   ∆ x × 1 T m , n + 1 - T m , n ∆ y + k m , n ∆ y × 1 T m + 1 , n   - T m , n ∆ x + k m , n ∆ x × 1 T m , n - 1 - T m , n ∆ y + e ˙ 0 ∆ x × ∆ y × 1 = 0

Dividindo cada termo por ∆ x × ∆ y × 1 e agrupando os termos. Chegamos na equação abaixo:

T m - 1 , n - 2 T m , n + T m + 1 , n ∆ x 2 + T m , n - 1 - 2 T m , n + T m , n + 1 ∆ y 2 + e ˙ 0 k m , n = 0

Passo 3

Para uma malha quadrada com ∆ x = ∆ y = l a equação se torna:

T m - 1 , n + T m + 1 , n + T m , n - 1 + T m , n + 1 - 4 T m , n + e ˙ 0 l 2 k m , n = 0

Ou

T e s q + T s u p + T d i r + T i n f - 4 T n ó + e ˙ 0 l 2 k n ó = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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