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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 124

Começando com balanço de energia no elemento de volume, obtenha a equação explícita de diferenças finitas transiente bidimensional para nó geral interno em coordenadas retangulares para T ( x , y , t ) para o caso de condutividade térmica constante e geração uniforme de calor.

Passo 1

Inicialmente, consideraremos uma região retangular na qual a transferência de calor seja significativa nas direções x e y e uma dimensão ∆ z = 1 na direção z . Temos que a geração de calor no meio é uniforme e a condutividade térmica é constante.

Agora, devemos imaginar que o plano retangular considerado seja dividido em uma malha retangular de pontos nodais que possuem espaços ∆ x e ∆ y entre si, separados nas respectivas direções x e y .

Consideramos também um nó interior geral ( m , n ) cujas coordenadas são x = m ∆ x e y = n ∆ y , e que o elemento de volume centrado nesse nó envolve a condução de calor de quatro lados, e expressando essas direções no tempo i, a formulação explícita de diferenças finitas transiente para esse nó interior geral pode ser expressa da seguinte maneira:

k ∆ y   × 1 T m - 1 , n i -   T m , n i ∆ x +   k ∆ x   × 1 T m , n + 1 i -   T m , n i ∆ y +   k ∆ y   × 1 T m + 1 , n i -   T m , n i ∆ x +   k ∆ x   × 1 T m , n - 1 i -   T m , n i ∆ y +   e ˙ 0 ∆ x   ×   ∆ y   × 1 =   ρ ∆ x   ×   ∆ y   × 1 C p T m , n i + 1 -   T m , n i ∆ t  

Passo 2

Agora, assumiremos uma malha quadrada ∆ x = ∆ y = l , dividiremos cada termo por k e, após as simplificações, temos:

T m - 1 ,   n i + T m ,   n + 1 i +   T m + 1 ,   n i +   T m ,   n - 1 i -   4 T m ,   n i +   e 0 ˙ l 2 k =   T m , n i + 1 -   T m , n i τ

Onde α =   k / ρ C p é a difusividade térmica do material e τ =   α ∆ t / l ² é o número de Fourier para malhas adimensionais.

Nesse formato, os quatro primeiros termos representam as temperaturas provenientes dos quatro lados da malha, o quinto termo é referente à temperatura na coordenada pertencente ao nó considerado, que também é a referência do último termo, referente à variação da temperatura ao longo do tempo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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