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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 172

O conjunto carrinho/pá de massa m = 30   k g , mostrado no Problema 4.128 , é movido por um jato de água. A água deixa o bocal estacionário de área A = 0,02   m 2 , com uma velocidade de 20   m / s . O coeficiente de atrito cinético entre o carrinho e a superfície é 0,10 . Trace um gráfico da velocidade terminal do conjunto como uma função do ângulo de deflexão da pá, θ , para 0 ≤ θ ≤ π / 2 . Para qual ângulo, o conjunto começa a mover se o coeficiente de atrito estático é 0,15 .

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u ) ;
  4. Escoamento uniforme.

Pelas considerações feitas, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Passo 2

Analisando em x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há resistência, então, F S x = 0 :

F B x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F B x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Então:

- F f - a r x ⋅ m = u 1 - ρ V A + u 2 ρ V A

Sendo:

u 1 = v - u ;

u 2 = v - u ⋅ cos ⁡ θ .

Temos:

- F f - a r x ⋅ m = v - u ⋅ - ρ V A + v - u ⋅ cos ⁡ θ ⋅ ρ V A

a r x = ρ v - u 2 1 - cos ⁡ θ A - F f m

Passo 3

Analisando em y , temos:

F S y + F B y - ∫ V C a r y ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C v ( ρ V ) d A

Não há resistência, então, F S y = 0 :

F B y - ∫ V C a r y ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C v ρ   d ∀ + ∫ S C v ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

F B y - ∫ V C a r y ρ d ∀ = ∫ S C v ( ρ V ) d A

Então:

R y - a r x ⋅ m = v 1 - ρ V A + v 2 ρ V A

Sendo:

a r x = g ;

v 1 = 0 ;

v 2 = v - u ⋅ s en ⁡ θ .

Temos:

R y - m g = v - u 2 ⋅ sen ⁡ θ ⋅ ρ A

R y = v - u 2 ⋅ ρ A ⋅ sen ⁡ θ + m g

Passo 4

Para u t temos que a r x = 0 e F f = μ R y .

Juntaremos as equações do Passo 2 e 3 em uma só:

0 = ρ v - u t 2 1 - cos ⁡ θ A - μ R y m

0 = ρ v - u t 2 1 - cos ⁡ θ A - μ v - u t 2 ⋅ ρ A ⋅ sen ⁡ θ + m g m

0 = v - u t 2 ⋅ ρ A 1 - cos ⁡ θ - μ ⋅ s e n   θ - μ m g

v - u t 2 = μ m g ρ A 1 - cos ⁡ θ - μ ⋅ s e n   θ

u t = v - μ m g ρ A 1 - cos ⁡ θ - μ ⋅ s e n   θ

Passo 5

Trace um gráfico da velocidade terminal do conjunto como uma função do ângulo de deflexão da pá.

Sendo:

v = 20   m / s ;

μ = 0,10 ;

m = 30   k g ;

g = 9,8   m / s 2 ;

ρ = 1000   k g / m 3 ;

A = 0,02   m 2 .

Temos:

u t = 20 - 0,10 ⋅ 30 ⋅ 9,8 1000 ⋅ 0,02 ⋅ 1 - cos ⁡ θ - 0,10 ⋅ s e n   θ

Passo 6

Para qual ângulo, o conjunto começa a mover se o coeficiente de atrito estático é 0,15 ?

u t = 0

0 = v - μ m g ρ A 1 - cos ⁡ θ - μ ⋅ s e n   θ

v 2 = μ m g ρ A 1 - cos ⁡ θ - μ ⋅ s e n   θ

1 - cos ⁡ θ - μ ⋅ s e n   θ = μ m g ρ A v 2

cos ⁡ θ + μ ⋅ s e n   θ = 1 - μ m g ρ A v 2

Usando os dados do Passo 5 e com μ = 0,15 :

cos ⁡ θ + 0,15 ⋅ s e n   θ = 1 - 0,15 ⋅ 30 ⋅ 9,8 1000 ⋅ 0,02 ⋅ 20 2 = 0,9945

cos ⁡ θ + 0,15 ⋅ s e n   θ = 0,9945

Analisando entre 10 ° e 20 ° :

cos ⁡ 10 ° + 0,15 ⋅ s e n   10 ° = 0,9945

1,0629 ≠ 0,9945

cos ⁡ 2 0 ° + 0,15 ⋅ s e n   2 0 ° = 0,9945

0,9909 ≠ 0,9945

Percebemos que o ângulo se aproxima mais de 20 ° .

Utilizaremos então 19 ° :

cos ⁡ 19 ° + 0,15 ⋅ s e n   19 ° = 0,9945

0,99 45 = 0,9945

Para o ângulo de 19° o conjunto começa a mover se o coeficiente de atrito estático é 0,15 .

Resposta

Ângulo de 19°

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