Considere um aquecedor cuja resistência é um fio longo de raio e condutividade térmica , no qual o valor é gerado uniformemente a uma taxa de como resultado do aquecimento devido à resistência do fio. O fio está envolto por uma camada de plástico de 0,4 cm de espessura cuja condutividade térmica é . A superfície externa da camada plástica perde calor por convecção para o ar ambiente a uma temperatura , com coeficiente médio de transferência de calor combinado . Assumindo uma transferência de calor unidimensional e permanente, determine as temperaturas no centro do fio de resistência e na camada de interface fio e plástico.

Agora, precisamos resolver a EDO com as condições discutidas no passo anterior. Integrando a nossa EDO, temos:

Substituindo a condução de contorno que nos diz que não há condução de calor no centro do fio, descobrimos que . Continuando a resolver a EDO, temos:

Substituindo a outra condição de contorno, temos:

Portanto, a distribuição de temperatura no fio é:

Bom, por enquanto precisamos parar por aqui, pois quem é a temperatura . Agora, vamos partir para resolução da equação de condução de calor na parte plástica.

Então vamos lá! Se queremos resolver a questão de condução de calor na parte plástica, basicamente será necessário repetir todo o procedimento que fizemos nos passos anteriores.

Começaremos então relembrando, ou melhor, ditando as hipóteses para a condução nesta camada! Nela temos condução de calor unidimensional em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica constante. Desta forma, temos a seguinte EDO:

E em relação as condições de contorno? Sabemos que na superfície externa temos a presença de convecção. Portanto, temos:

E as outras condições? Elas estão relacionadas a superfície interna. Apesar de termos uma interface com materiais diferentes, a função temperatura é contínua neste ponto. Portanto, a temperatura e a taxa de transferência de calor em ambos os lados são iguais entre si! Sendo assim, temos as seguintes condições:

Logo, vamos resolver a nossa EDO e aplicar as condições. Integrando a EDO, temos:

Agora, vamos aplicar as condições de contorno ao nosso problema. Começando pela continuidade do fluxo de calor nas superfícies, temos:

Agora, vamos utilizar a convecção na superfície externa. Logo,

Momento importante este que fizemos! Muito cuidado na hora de calcularem quem é o raio externo!!! Percebam que ele é o raio interno + espessura da camada (0,4 cm). Sempre tomem muito cuidado quando estamos falando de camadas externas. Sempre é uma pegadinha!

Agora, podemos obter a distribuição de temperatura na parte plástica. Ela é:

Agora sim! Estamos mais próximos do fim do que do início! Já podemos calcular a temperatura na interface dos dois materiais, e assim descobrir quem é ! Basta substituirmos na fórmula anterior. Logo,

O passo anterior foi bem grande mesmo! Vamos finalizar a questão então?

Vamos calcular a temperatura no centro do fio. Para isto, vamos ter de voltar até o final do Passo 2, onde conseguimos a distribuição de temperatura no fio. Relembrando, temos:

Como queremos a temperatura no centro do fio, basta calcular quando . Substituindo todos os valores das constantes, temos:

Finalmente! Conseguimos terminar está “pequena” questão!