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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 86

Considere um bloco cúbico cujos lados têm 5   c m de comprimento e um bloco cilíndrico cuja altura e diâmetro são também de 5   c m . Ambos os blocos estão inicialmente a 20   ° C e são feitos de granito ( k = 2,5   W / ( m . K ) e α = 1,15 . 10 - 6   m 2 / s ). Agora, ambos os blocos estão expostos a gases quentes a 500   ° C em um forno com coeficiente de transferência de calor de 40   W / ( m 2 . K ) em todas as suas superfícies. Determine a temperatura no centro de cada geometria após 10 , 20 e 60   m i n u t o s .

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil, só o enunciado que assusta um pouco! A primeira coisa que a gente tem que fazer é assumir hipóteses. Nessa questão, temos como assumir que:

  • Como o bloco cúbico está exposto em todas as suas superfícies a temperatura varia em todos os eixos x , y e z . Portanto, a condução de calor no bloco cúbico é tridimensional.
  • Como o bloco cilíndrico está exposto em todas as suas superfícies também a temperatura varia nos dois eixos axiais e nas direções radiais r . Portanto, a condução de calor no bloco cilíndrico é bidimensional.
  • As propriedades térmicas do granito são constantes. Isso quer dizer que o valor da condutividade térmica k = 2,5   W / ( m . K ) e da difusividade térmica α = 1,15 . 10 - 6   m 2 / s são constantes.
  • O coeficiente de transferência de calor h =   40   W / ( m 2 . K ) é constante e uniforme em todas as superfícies.

Passo 2

Ufa, quantas hipóteses! Agora vamos para a análise do problema, galera! A gente pode notar que essa questão possui duas partes, sendo elas:

  1. Determine a temperatura no centro do bloco cúbico após 10 , 20 e 60   m i n u t o s .
  2. Determine a temperatura no centro do bloco cilíndrico após 10 , 20 e 60   m i n u t o s .

Agora que sabemos com clareza o que nos foi pedido, vamos partir para os cálculos!

Passo 3

Vamos começar resolvendo pela parte 1 da questão! Como observado no enunciado, temos um bloco cúbico cujos lados têm 5   c m de comprimento. Ele está inicialmente a uma temperatura T i = 20   ° C e foi exposto a gases quentes a T ∞ = 500   ° C em um forno com coeficiente de transferência de calor de h = 40   W / ( m 2 . K ) .

Continuando nossa análise, temos da tabela 4-5 que ele se aproxima do paralelepípedo retangular, podemos observar que o eixo está no centro da geometria! Isso quer dizer que este bloco cúbico pode ser formado fisicamente pela interseção de três paredes planas de espessura 2 . L   =   5   c m . 1   m 100   c m = 0,05   m , logo L = 0,025   m . O produto da solução multidimensional para esse caso é:

θ x ,   y ,   z ,   t =   θ P a r e d e x ,   t . θ P a r e d e ( y ,   t ) . θ P a r e d e ( z ,   t )

Passo 4

Usando a aproximação de termo único, a solução do problema de condução de calor transiente unidimensional é expressa analiticamente como:

θ P a r e d e x ,   t = A 1 . e - λ 1 2 . τ . c o s ⁡ λ 1 . x L

θ P a r e d e y ,   t = A 1 . e - λ 1 2 . τ . c o s ⁡ λ 1 . y L

θ P a r e d e z ,   t = A 1 . e - λ 1 2 . τ . c o s ⁡ λ 1 . z L

θ x ,   y ,   z ,   t =   T x ,   y ,   z ,   t -   T ∞ T i - T ∞

Portanto, como queremos a temperatura no centro do bloco cúbico, temos x = y = z = 0 e, consequentemente, c o s c o s   λ 1 . 0 L   = c o s ⁡ ( 0 ) = 1 , logo:

θ 0 ,   0 ,   0 ,   t =   θ P a r e d e 0 ,   t . θ P a r e d e ( 0 ,   t ) . θ P a r e d e ( 0 ,   t )

T 0 ,   0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   θ P a r e d e 0 ,   t 3

T 0 ,   0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ 3

Passo 5

Minha nossa, apareceram mais três variáveis! O que eu faço agora?! Não se desespere, as constantes A 1 e λ 1 são funções somente do número de Biot e seus valores estão listados na tabela 4-2. Portanto, basta calcularmos o número de Biot para a geometria das paredes planas!

B i = h . L k = 40.0,025 2,5

B i = 0,4

Portanto, o erro envolvido na análise de sistemas aglomerados não é desprezível, pois B i = 0,4   > 0,1 ! Consequentemente, a análise de sistemas aglomerados não é aplicável!

Da tabela 4-2 para parede plana temos que para B i = 0,4 os valores das constantes são A 1 = 0,5932 e λ 1 = 1,0580 .

Passo 6

Tranquilo, encontramos duas das três variáveis. Nos falta saber quem é τ . Nada mais é que o número de Fourier, pessoal! Ele é calculado a partir da seguinte equação:

τ =   α . t L 2

Como podemos observar, esse número depende do tempo t . Portanto, após t = 10   m i n u t o s . 60   s 1   m i n u t o = 600   s , o número de Fourier é:

τ =   α . t L 2 =   1,15 . 10 - 6 . 600 ( 0,025 ) 2 = 1,104

Após   t = 20   m i n u t o s . 60   s 1   m i n u t o = 1200   s , o número de Fourier é:

τ =   α . t L 2 =   1,15 . 10 - 6 . 1200 ( 0,025 ) 2 = 2,208

Após   t = 60   m i n u t o s . 60   s 1   m i n u t o = 3600   s , o número de Fourier é:

τ =   α . t L 2 =   1,15 . 10 - 6 . 3600 ( 0,025 ) 2 = 6,624

O erro envolvido em soluções de termo único é inferior a 2% quando o número de Fourier τ > 0,2 . Portanto, como todos os valores atendem essa condição, então a aproximação de termo único para condução transiente de calor é aplicável para o bloco cúbico! Isso confirma toda a nossa análise! Vamos comemorar!

Passo 7

Ufa, agora a gente vai conseguir com certeza! Nossa análise está correta e temos todas as variáveis que precisamos em mãos! Agora vamos determinar a temperatura no centro do bloco cúbico para os três casos:

Após t = 10   m i n u t o s . 60   s 1   m i n u t o = 600   s :

T 0 ,   0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ 3

T 0 ,   0 ,   0 ,   600   s -   500 20 - 500 =   1,0580 . e - 0,5932 2 . 1,104 3

T 0 ,   0 ,   0 ,   600   s = 323   ° C  

Após   t = 20   m i n u t o s . 60   s 1   m i n u t o = 1200   s :

T 0 ,   0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ 3

T 0 ,   0 ,   0 ,   1200   s -   500 20 - 500 =   1,0580 . e - 0,5932 2 . 2,208 3

T 0 ,   0 ,   0 ,   1200   s = 445   ° C  

Após   t = 60   m i n u t o s . 60   s 1   m i n u t o = 3600   s :

T 0 ,   0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ 3

T 0 ,   0 ,   0 ,   3600   s -   500 20 - 500 =   1,0580 . e - 0,5932 2 . 6,624 3

T 0 ,   0 ,   0 ,   3600   s = 500   ° C  

Conseguimos a primeira resposta, galera! Mandaram muito bem!

Passo 8

Agora vamos para a letra (b) da questão! Vem comigo que falta pouco! Como observado no enunciado, temos um bloco cilíndrico cuja altura e diâmetro são também de 5   c m . Ele está inicialmente a uma temperatura T i = 20   ° C e foi exposto a gases quentes a T ∞ = 500   ° C em um forno com coeficiente de transferência de calor de h = 40   W / ( m 2 . K ) .

Continuando nossa análise, temos da tabela 4-5 que ele se aproxima do cilindro curto, podemos observar que o eixo está no centro da geometria! Isso quer dizer que este bloco cilíndrico pode ser formado fisicamente pela interseção de um cilindro longo de raio r 0 = D 2   =   5   c m 2 = 2,5   c m . 1   m 100   c m = 0,025   m e uma parede plana de espessura 2 . L   =   5   c m . 1   m 100   c m = 0,05   m , logo L = 0,025   m . O produto da solução multidimensional para esse caso é:

θ x ,   r ,   t =   θ C i l r ,   t . θ P a r e d e ( x ,   t )

Passo 9

Usando a aproximação de termo único, a solução do problema de condução de calor transiente unidimensional é expressa analiticamente como:

θ C i l r ,   t = A 1 . e - λ 1 2 . τ . J 0 ⁡ λ 1 . r r 0

θ P a r e d e x ,   t = A 1 . e - λ 1 2 . τ . c o s ⁡ λ 1 . x L

θ x ,   r ,   t =   T x ,   r ,   t -   T ∞ T i - T ∞

Portanto, como queremos a temperatura no centro do bloco cilíndrico, temos x = r = 0 e, consequentemente, c o s c o s   λ 1 . 0 L   = c o s ⁡ ( 0 ) = 1 . Mas, quem é J 0 ?! Nada mais é que a função de Bessel de zero ordem! Seus valores são dados na tabela 4-3, fiquem tranquilos! Portanto, se olharmos a tabela, para r = 0 , temos que J 0 ⁡ λ 1 . r r 0 = J 0 ⁡ λ 1 . 0 r 0 = J 0 0 = 1 ! Logo:

θ 0 ,   0 ,   t =   θ C i l 0 ,   t . θ P a r e d e ( 0 ,   t )

T 0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ C i l . A 1 . e - λ 1 2 . τ P a r e d e

Diferentemente do caso do bloco cúbico, apesar dos dois termos serem iguais, não podemos juntar, pois agora estamos tratando de duas geometrias diferentes!

Passo 10

Eu posso aplicar os valores das constantes A 1 = 0,5932 e λ 1 = 1,0580 encontrados no passo 5 para a geometria do cilindro longo?! NÃO!!! O valor dessas constantes foi calculado a partir do número de Biot para a geometria de uma parede plana! Portanto, precisamos calcular novamente o número de Biot, mas dessa vez para a geometria do cilindro longo:

B i = h . r 0 k = 40.0,025 2,5

B i = 0,4

Portanto, o erro envolvido na análise de sistemas aglomerados não é desprezível, pois B i = 0,4   > 0,1 ! Consequentemente, a análise de sistemas aglomerados não é aplicável!

Da tabela 4-2 para cilindro temos que para B i = 0,4 os valores das constantes são A 1 = 1,0931 e λ 1 = 0,8516 !

Passo 11

Tranquilo, encontramos as constantes para a geometria do cilindro longo. Nos falta calcular o número de Fourier τ , pessoal! Como as variáveis do tempo t , do valor de L = r 0 e da difusividade térmica α do bloco cilíndrico são iguais as variáveis do bloco cúbico, o número de Fourier é igual ao calculado no passo 6! Isso nos poupa muito tempo! Portanto,

após t = 600   s , o número de Fourier é:

τ = 1,104

Após   t = 1200   s , o número de Fourier é:

τ = 2,208

Após   t = 3600   s , o número de Fourier é:

τ =   6,624

Só para relembrar, o erro envolvido em soluções de termo único é inferior a 2% quando o número de Fourier τ > 0,2 . Portanto, como todos os valores atendem essa condição, então a aproximação de termo único para condução transiente de calor é aplicável para o bloco cilíndrico também! Isso confirma toda a nossa análise! Vamos comemorar novamente!

Passo 12

Tá acabando pessoal, eu prometo! Estamos quase lá! Nossa análise está correta e temos todas as variáveis que precisamos em mãos! Agora vamos determinar a temperatura no centro do bloco cilíndrico para os três casos:

Após t = 600   s :

T 0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ C i l . A 1 . e - λ 1 2 . τ P a r e d e

T 0 ,   0 ,   600   s -   500 20 - 500 =   1,0931 . e - 0,8516 2 . 1,104 . 1,0580 . e - 0,5932 2 . 1,104

T 0 ,   0 ,   600   s = 331   ° C  

Após   t = 1200   s :

T 0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ C i l . A 1 . e - λ 1 2 . τ P a r e d e

T 0 ,   0 ,   1200   s -   500 20 - 500 =   1,0931 . e - 0,8516 2 . 2,208 . 1,0580 . e - 0,5932 2 . 2,208

T 0 ,   0 ,   1200   s = 449   ° C  

Após   t = 3600   s :

T 0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ C i l . A 1 . e - λ 1 2 . τ P a r e d e

T 0 ,   0 ,   3600   s -   500 20 - 500 =   1,0931 . e - 0,8516 2 . 6,624 . 1,0580 . e - 0,5932 2 . 6,624

T 0 ,   0 ,   3600   s = 500   ° C  

Conseguimos a segunda resposta, galera! Finalmente essa questão enorme acabou! Vocês são feras demais!

Resposta

Após todos esses passos cansativos, temos que a temperatura no centro do bloco cúbico após 10 , 20 e 60   m i n u t o s é respectivamente:

T 0 ,   0 ,   0 ,   600   s = 323   ° C  

T 0 ,   0 ,   0 ,   1200   s = 445   ° C  

T 0 ,   0 ,   0 ,   3600   s = 500   ° C  

E também temos que a temperatura no centro do bloco cilíndrico após 10 , 20 e 60   m i n u t o s é respectivamente:

T 0 ,   0 ,   600   s = 331   ° C  

T 0 ,   0 ,   1200   s = 449   ° C  

T 0 ,   0 ,   3600   s = 500   ° C  

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