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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 87

Considere um bloco cúbico cujos lados têm 5   c m de comprimento e um bloco cilíndrico cuja altura e diâmetro são também de 5   c m . Ambos os blocos estão inicialmente a 20   ° C e são feitos de granito ( k = 2,5   W / ( m . K ) e α = 1,15 . 10 - 6   m 2 / s ). Agora, ambos os blocos estão expostos a gases quentes a 500   ° C em um forno com coeficiente de transferência de calor duplicado de 80   W / ( m 2 . K ) na superfície de cima e de baixo e com coeficiente de transferência de calor de 40   W / ( m 2 . K ) nas outras superfícies. Determine a temperatura no centro de cada geometria após 10 , 20 e 60   m i n u t o s .

Passo 1

Vamos lá pessoal, essa questão não é difícil, só o enunciado que assusta um pouco! A primeira coisa que a gente tem que fazer é assumir hipóteses. Nessa questão, temos como assumir que:

  • Como o bloco cúbico está exposto em todas as suas superfícies a temperatura varia em todos os eixos x , y e z . Portanto, a condução de calor no bloco cúbico é tridimensional.
  • Como o bloco cilíndrico está exposto em todas as suas superfícies também a temperatura varia nos dois eixos axiais e nas direções radiais r . Portanto, a condução de calor no bloco cilíndrico é bidimensional.
  • As propriedades térmicas do granito são constantes. Isso quer dizer que o valor da condutividade térmica k = 2,5   W / ( m . K ) e da difusividade térmica α = 1,15 . 10 - 6   m 2 / s são constantes.
  • O coeficiente de transferência de calor h =   80   W / ( m 2 . K ) é constante e uniforme na superfície de cima e de baixo. O coeficiente de transferência de calor h = 40   W / ( m 2 . K ) é constante e uniforme nas outras superfícies.

Passo 2

Ufa, quantas hipóteses! Agora vamos para a análise do problema, galera! A gente pode notar que essa questão possui duas partes, sendo elas:

  1. Determine a temperatura no centro do bloco cúbico após 10 , 20 e 60   m i n u t o s .
  2. Determine a temperatura no centro do bloco cilíndrico após 10 , 20 e 60   m i n u t o s .

Agora que sabemos com clareza o que nos foi pedido, vamos partir para os cálculos!

Passo 3

Vamos começar resolvendo pela parte 1 da questão! Como observado no enunciado, temos um bloco cúbico cujos lados têm 5   c m de comprimento. Ele está inicialmente a uma temperatura T i = 20   ° C e foi exposto a gases quentes a T ∞ = 500   ° C em um forno com coeficiente de transferência de calor de h = 80   W / ( m 2 . K ) na superfície de cima e de baixo e com coeficiente de transferência de calor de h = 40   W / ( m 2 . K ) em todas as outras.

Continuando nossa análise, temos da tabela 4-5 que ele se aproxima do paralelepípedo retangular, podemos observar que o eixo está no centro da geometria! Isso quer dizer que este bloco cúbico pode ser formado fisicamente pela interseção de três paredes planas de espessura 2 . L   =   5   c m . 1   m 100   c m = 0,05   m , logo L = 0,025   m . O produto da solução multidimensional para esse caso é:

θ x ,   y ,   z ,   t =   θ P a r e d e x ,   t . θ P a r e d e ( y ,   t ) . θ P a r e d e ( z ,   t )

Muito cuidado! Precisamos nos lembrar de que duas das paredes planas estão expostas a gases quentes com coeficiente de transferência de calor de 40   W / ( m 2 . K ) e uma com coeficiente de transferência de calor de 80   W / ( m 2 . K ) . Isso faz diferença, continuem aqui comigo!

Passo 4

Usando a aproximação de termo único, a solução do problema de condução de calor transiente unidimensional é expressa analiticamente como:

θ P a r e d e x ,   t = A 1 . e - λ 1 2 . τ . c o s ⁡ λ 1 . x L

θ P a r e d e y ,   t = A 1 . e - λ 1 2 . τ . c o s ⁡ λ 1 . y L

θ P a r e d e z ,   t = A 1 . e - λ 1 2 . τ . c o s ⁡ λ 1 . z L

θ x ,   y ,   z ,   t =   T x ,   y ,   z ,   t -   T ∞ T i - T ∞

Portanto, como queremos a temperatura no centro do bloco cúbico, temos x = y = z = 0 e, consequentemente, c o s c o s   λ 1 . 0 L   = c o s ⁡ ( 0 ) = 1 . Como apenas duas das três paredes planas estão expostas as mesmas, temos:

θ 0 ,   0 ,   0 ,   t =   θ P a r e d e 0 ,   t . θ P a r e d e ( 0 ,   t ) . θ P a r e d e ( 0 ,   t )

T 0 ,   0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   θ P a r e d e 0 ,   t 2 . θ P a r e d e 0 ,   t

T 0 ,   0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ 2 . A 1 . e - λ 1 2 . τ

Passo 5

Minha nossa, apareceram mais três variáveis! O que eu faço agora?! Não se desespere, as constantes A 1 e λ 1 são funções somente do número de Biot e seus valores estão listados na tabela 4-2. Portanto, basta calcularmos o número de Biot para a geometria das paredes planas!

É aqui que veremos a diferença citada no passo 3. Como o número de Biot também depende do coeficiente de transferência de calor h , teremos diferentes valores encontrados para as constantes A 1 e λ 1 ! Logo:

Número de Biot para h = 40   W / ( m 2 . K ) :

B i = h . L k = 40.0,025 2,5

B i = 0,4

Número de Biot para h = 80   W / ( m 2 . K ) :

B i = h . L k = 80.0,025 2,5

B i = 0,8

Portanto, para ambos os casos, o erro envolvido na análise de sistemas aglomerados não é desprezível, pois B i = 0,4   > 0,1 e B i = 0,8   > 0,1 ! Consequentemente, a análise de sistemas aglomerados não é aplicável para nenhum dos casos!

Da tabela 4-2 para parede plana temos que para B i = 0,4 os valores das constantes são A 1 = 0,5932 e λ 1 = 1,0580 . E também para B i = 0,8 os valores das constantes são A 1 = 1,1016 e λ 1 = 0,7910 .

Passo 6

Tranquilo, encontramos duas das três variáveis. Nos falta saber quem é τ . Nada mais é que o número de Fourier, pessoal! Ele é calculado a partir da seguinte equação:

τ =   α . t L 2

Como podemos observar, esse número depende do tempo t . Portanto, após t = 10   m i n u t o s . 60   s 1   m i n u t o = 600   s , o número de Fourier é:

τ =   α . t L 2 =   1,15 . 10 - 6 . 600 ( 0,025 ) 2 = 1,104

Após   t = 20   m i n u t o s . 60   s 1   m i n u t o = 1200   s , o número de Fourier é:

τ =   α . t L 2 =   1,15 . 10 - 6 . 1200 ( 0,025 ) 2 = 2,208

Após   t = 60   m i n u t o s . 60   s 1   m i n u t o = 3600   s , o número de Fourier é:

τ =   α . t L 2 =   1,15 . 10 - 6 . 3600 ( 0,025 ) 2 = 6,624

O erro envolvido em soluções de termo único é inferior a 2% quando o número de Fourier τ > 0,2 . Portanto, como todos os valores atendem essa condição, então a aproximação de termo único para condução transiente de calor é aplicável para o bloco cúbico! Isso confirma toda a nossa análise! Vamos comemorar!

Passo 7

Ufa, agora a gente vai conseguir com certeza! Nossa análise está correta e temos todas as variáveis que precisamos em mãos! Agora vamos determinar a temperatura no centro do bloco cúbico para os três casos:

Após t = 10   m i n u t o s . 60   s 1   m i n u t o = 600   s :

T 0 ,   0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ 2 . A 1 . e - λ 1 2 . τ

T 0 ,   0 ,   0 ,   600   s -   500 20 - 500 =   1,0580 . e - 0,5932 2 . 1,104 2 . 1,1016 . e - 0,7910 2 . 1,104

T 0 ,   0 ,   0 ,   600   s = 364   ° C  

Após   t = 20   m i n u t o s . 60   s 1   m i n u t o = 1200   s :

T 0 ,   0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ 2 . A 1 . e - λ 1 2 . τ

T 0 ,   0 ,   0 ,   600   s -   500 20 - 500 =   1,0580 . e - 0,5932 2 . 2,208 2 . 1,1016 . e - 0,7910 2 . 2,208

T 0 ,   0 ,   0 ,   1200   s = 469   ° C  

Após   t = 60   m i n u t o s . 60   s 1   m i n u t o = 3600   s :

T 0 ,   0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ 2 . A 1 . e - λ 1 2 . τ

T 0 ,   0 ,   0 ,   600   s -   500 20 - 500 =   1,0580 . e - 0,5932 2 . 6,624 2 . 1,1016 . e - 0,7910 2 . 6,624

T 0 ,   0 ,   0 ,   3600   s = 500   ° C  

Conseguimos a primeira resposta, galera! Mandaram muito bem!

Passo 8

Agora vamos para a letra (b) da questão! Vem comigo que falta pouco! Como observado no enunciado, temos um bloco cilíndrico cuja altura e diâmetro são também de 5   c m . Ele está inicialmente a uma temperatura T i = 20   ° C e foi exposto a gases quentes a T ∞ = 500   ° C em um forno com coeficiente de transferência de calor de h = 80   W / ( m 2 . K ) na superfície de cima e de baixo e com coeficiente de transferência de calor de h = 40   W / ( m 2 . K ) em todas as outras.

Continuando nossa análise, temos da tabela 4-5 que ele se aproxima do cilindro curto, podemos observar que o eixo está no centro da geometria! Isso quer dizer que este bloco cilíndrico pode ser formado fisicamente pela interseção de um cilindro longo de raio r 0 = D 2   =   5   c m 2 = 2,5   c m . 1   m 100   c m = 0,025   m e uma parede plana de espessura 2 . L   =   5   c m . 1   m 100   c m = 0,05   m , logo L = 0,025   m . O produto da solução multidimensional para esse caso é:

θ x ,   r ,   t =   θ C i l r ,   t . θ P a r e d e ( x ,   t )

Vamos nos atentar novamente! A parede plana compõe a superfície de cima e de baixo, portanto temos que para essa geometria o coeficiente de transferência de calor é de h = 80   W / ( m 2 . K ) ! Como a geometria do cilindro longo compõe as outras superfícies, esta geometria está exposta ao coeficiente de transferência de calor h = 40   W / ( m 2 . K ) .

Passo 9

Usando a aproximação de termo único, a solução do problema de condução de calor transiente unidimensional é expressa analiticamente como:

θ C i l r ,   t = A 1 . e - λ 1 2 . τ . J 0 ⁡ λ 1 . r r 0

θ P a r e d e x ,   t = A 1 . e - λ 1 2 . τ . c o s ⁡ λ 1 . x L

θ x ,   r ,   t =   T x ,   r ,   t -   T ∞ T i - T ∞

Portanto, como queremos a temperatura no centro do bloco cilíndrico, temos x = r = 0 e, consequentemente, c o s c o s   λ 1 . 0 L   = c o s ⁡ ( 0 ) = 1 . Mas, quem é J 0 ?! Nada mais é que a função de Bessel de zero ordem! Seus valores são dados na tabela 4-3, fiquem tranquilos! Portanto, se olharmos a tabela, para r = 0 , temos que J 0 ⁡ λ 1 . r r 0 = J 0 ⁡ λ 1 . 0 r 0 = J 0 0 = 1 ! Logo:

θ 0 ,   0 ,   t =   θ C i l 0 ,   t . θ P a r e d e ( 0 ,   t )

T 0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ C i l . A 1 . e - λ 1 2 . τ P a r e d e

Diferentemente do caso do bloco cúbico, apesar dos dois termos serem iguais, não podemos juntar, pois agora estamos tratando de duas geometrias diferentes. Além disso, essas duas geometrias estão expostas a coeficientes de transferência de calor diferentes!

Passo 10

Eu posso aplicar os valores das constantes A 1 = 0,5932 e λ 1 = 1,0580 encontrados no passo 5 para a geometria do cilindro longo?! NÃO!!! O valor dessas constantes foi calculado a partir do número de Biot para a geometria de uma parede plana! Portanto, precisamos calcular novamente o número de Biot, mas dessa vez para a geometria do cilindro longo. Como o cilindro longo está exposto ao coeficiente de transferência de calor h = 40   W / ( m 2 . K ) , temos:

B i = h . r 0 k = 40.0,025 2,5

B i = 0,4

Como a parede plana está exposta ao coeficiente de transferência de calor h = 80   W / ( m 2 . K ) , temos igualmente ao passo 5 que:

B i = h . L k = 80.0,025 2,5

B i = 0,8

Portanto, o erro envolvido na análise de sistemas aglomerados não é desprezível, pois B i = 0,4   > 0,1 B i = 0,8   > 0,1 ! Consequentemente, a análise de sistemas aglomerados não é aplicável para nenhum dos casos!

Da tabela 4-2 para cilindro temos que para B i = 0,4 os valores das constantes são A 1 = 1,0931 e λ 1 = 0,8516 . E também para parede plana com B i = 0,8 os valores das constantes são A 1 = 1,1016 e λ 1 = 0,7910 .

Passo 11

Tranquilo, encontramos as constantes para a geometria do cilindro longo. Nos falta calcular o número de Fourier τ , pessoal! Como as variáveis do tempo t , do valor de L = r 0 e da difusividade térmica α do bloco cilíndrico são iguais as variáveis do bloco cúbico, o número de Fourier é igual ao calculado no passo 6! Isso nos poupa muito tempo! Portanto,

após t = 600   s , o número de Fourier é:

τ = 1,104

Após   t = 1200   s , o número de Fourier é:

τ = 2,208

Após   t = 3600   s , o número de Fourier é:

τ =   6,624

Só para relembrar, o erro envolvido em soluções de termo único é inferior a 2% quando o número de Fourier τ > 0,2 . Portanto, como todos os valores atendem essa condição, então a aproximação de termo único para condução transiente de calor é aplicável para o bloco cilíndrico também! Isso confirma toda a nossa análise! Vamos comemorar novamente!

Passo 12

Tá acabando pessoal, eu prometo! Estamos quase lá! Nossa análise está correta e temos todas as variáveis que precisamos em mãos! Agora vamos determinar a temperatura no centro do bloco cilíndrico para os três casos:

Após t = 600   s :

T 0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ C i l . A 1 . e - λ 1 2 . τ P a r e d e

T 0 ,   0 ,   600   s -   500 20 - 500 =   1,0931 . e - 0,8516 2 . 1,104 . 1,1016 . e - 0,7910 2 . 1,104

T 0 ,   0 ,   600   s = 370   ° C  

Após   t = 1200   s :

T 0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ C i l . A 1 . e - λ 1 2 . τ P a r e d e

T 0 ,   0 ,   1200   s -   500 20 - 500 =   1,0931 . e - 0,8516 2 . 2,208 . 1,1016 . e - 0,7910 2 . 2,208

T 0 ,   0 ,   1200   s = 471   ° C  

Após   t = 3600   s :

T 0 ,   0 ,   t -   T ∞ T i - T ∞ =   A 1 . e - λ 1 2 . τ C i l . A 1 . e - λ 1 2 . τ P a r e d e

T 0 ,   0 ,   3600   s -   500 20 - 500 =   1,0931 . e - 0,8516 2 . 6,624 . 1,1016 . e - 0,7910 2 . 6,624

T 0 ,   0 ,   3600   s = 500   ° C  

Conseguimos a segunda resposta, galera! Finalmente essa questão enorme acabou! Vocês são feras demais

Resposta

Após todos esses passos cansativos, temos que a temperatura no centro do bloco cúbico após 10 , 20 e 60   m i n u t o s é respectivamente:

T 0 ,   0 ,   0 ,   600   s = 364   ° C  

T 0 ,   0 ,   0 ,   1200   s = 469   ° C  

T 0 ,   0 ,   0 ,   3600   s = 500   ° C  

E também temos que a temperatura no centro do bloco cilíndrico após 10 , 20 e 60   m i n u t o s é respectivamente:

T 0 ,   0 ,   600   s = 370   ° C  

T 0 ,   0 ,   1200   s = 471   ° C  

T 0 ,   0 ,   3600   s = 500   ° C  

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