Enunciado

Considere uma câmara de combustão tubular com 12   c m de diâmetro. O ar entra no tubo a 500   K , 400   k P a e 70   m / s . Combustível com valor de aquecimento de 39.000   k J / k g é queimado quando é aspergido no ar. Se o número de saída de Mach é 0,8 , determine a taxa com a qual o combustível é queimado e a temperatura de saída. Considere a combustão completa e despreze o aumento da vazão em massa devido à massa do combustível.

Passo 1

A questão é sobre um escoamento de Rayleigh de ar por um tubo circular. O ar recebe calor a uma taxa Q ˙ através da queima de um combustível. O problema pede, primeiro, que a gente calcule a temperatura T 2 do ar após seu aquecimento. Depois, ele pede que a gente calcule a vazão mássica de combustível m ˙ c o m b que precisa ser queimada para o ar receber Q ˙ de taxa de calor.

T 1 e T 2 são as temperaturas do ar antes e depois do aquecimento respectivamente. P 1 é a pressão do ar antes do aquecimento. V 1 é a velocidade do ar antes do aquecimento. M a 2 é o número de Mach do ar depois do aquecimento. V A é o valor de aquecimento do combustível. Ele é basicamente a quantidade de calor que o combustível libera por quilograma k g .

No próximo passo, vamos entender como calcular a temperatura T 2 .

Passo 2

Nós calcularemos T 2 a partir da temperatura T 1 e usando duas equações. Uma equação que relaciona a temperatura T 1 com a temperatura crítica T * e outra equação que relaciona essa temperatura crítica T * com a temperatura T 2 . Essas duas equações se encontram abaixo.

T 1 T * = M a 1 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 1 2 2

T 2 T * = M a 2 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 2 2 2

onde k é uma constante que vale 1,4 para o ar e M a 1 é o número de Mach do ar antes de ser aquecido.

Invertendo a equação de T 1 T * e multiplicando ela com a equação de T 2 T * , encontramos uma expressão para T 2 .

T 2 T * ⋅ T * T 1 = M a 2 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 2 2 2 ⋅ 1 + k ⋅ M a 1 2 M a 1 ⋅ 1 + k 2

T 2 T 1 = M a 2 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 2 2 2 ⋅ 1 + k ⋅ M a 1 2 M a 1 ⋅ 1 + k 2

T 2 = T 1 ⋅ M a 2 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 2 2 2 ⋅ 1 + k ⋅ M a 1 2 M a 1 ⋅ 1 + k 2

Ainda não sabemos quando vale M a 1 . No entanto, M a 1 é obtido através da fórmula do número de Mach.

M a 1 = V 1 c 1

onde c 1 é a velocidade do som no ar antes do ar ser aquecido.

A velocidade do som para um gás ideal é calculada pela fórmula abaixo. Como o ar pode ser considerado um gás ideal, podemos usar a fórmula abaixo para achar c 1 .

c 1 = k R T 1

onde R é a constante do ar que vale 287   J / k g K .

Substituindo os valores em c 1 , encontramos:

c 1 = k R T 1       ⟹       c 1 = 1,4 ⋅ 287 ⋅ 500       ⟹       c 1 = 448 , 2   m / s

Usando c 1 na equação de M a 1 :

M a 1 = V 1 c 1       ⟹       M a 1 = 70 448,2       ⟹       M a 1 = 0 , 156 2

Por último, substituindo M a 1 na expressão de T 2 , achamos a expressão dessa temperatura.

T 2 = T 1 ⋅ M a 2 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 2 2 2 ⋅ 1 + k ⋅ M a 1 2 M a 1 ⋅ 1 + k 2

T 2 = 500 ⋅ 0,8 ⋅ 1 + 1,4 1 + 1,4 ⋅ 0,8 2 2 ⋅ 1 + 1,4 ⋅ 0 , 156 2 2 0 , 156 2 ⋅ 1 + 1,4 2

T 2 = 3902   K

Passo 3

Esse passo e a primeira parte para calcular a taxa de consumo de combustível m ˙ c o m b suficiente para aquecer o ar até a temperatura T 2 .

Para calcular m ˙ c o m b , vamos supor que a taxa de calor Q ˙ liberada pela explosão do combustível é igual à taxa de calor Q ˙ que o ar recebe durante seu escoamento.

A taxa de calor Q ˙ liberada pela explosão do combustível é igual à quantidade de energia por unidade de massa presente no combustível V A multiplicado pela quantidade de combustível que é queimada a cada segundo m ˙ c o m b .

Q ˙ = m ˙ c o m b ⋅ V A

Além disso, a taxa de calor Q ˙ que o ar recebe é igual à quantidade de calor que o ar recebe por unidade de massa q multiplicada pela massa de ar que é aquecida a cada segundo m ˙ a r .

Q ˙ = q ⋅ m ˙ a r

Substituindo essa nova equação de Q ˙ na equação anterior, encontramos uma fórmula para m ˙ c o m b .

Q ˙ = m ˙ c o m b ⋅ V A     ⟹     q ⋅ m ˙ a r = m ˙ c o m b ⋅ V A     ⟹     m ˙ c o m b = q ⋅ m ˙ a r V A

m ˙ a r é a vazão mássica de ar que passa pelo duto. Por isso, ela pode ser calculada pela fórmula da vazão mássica, que multiplica a velocidade do ar V 1 pela área A 1 por onde o ar passa e pela densidade ρ 1 do ar.

m ˙ a r = ρ 1 ⋅ V 1 ⋅ A 1

Como o duto é circular com um diâmetro de 12   c m , A 1 pode ser calculada pela expressão da área do círculo.

No entanto, D = 12   c m tem que ser convertido antes para metro m para usar essa expressão.

D = 12   c m       ⟹       D = 0,12   m

A 1 = π ⋅ D 2 4       ⟹       A 1 = π ⋅ 0,12 2 4       ⟹       A 1 = 0 , 0113   m 2

Além disso, a densidade ρ 1 pode ser calculada a partir da equação de estado do gás ideal.

Para usar essa equação, convertemos a pressão P 1 de k P a para P a .

P 1 = 400   k P a       ⟹       P 1 = 400000   P a

P 1 = ρ 1 ⋅ R ⋅ T 1       ⟹       ρ 1 = P 1 R ⋅ T 1       ⟹       ρ 1 = 400000 287 ⋅ 500       ⟹       ρ 1 = 2 , 787   k g m 3

Substituindo tudo isso na equação de m ˙ a r , achamos:

m ˙ a r = ρ 1 ⋅ V 1 ⋅ A 1       ⟹       m ˙ a r = 2 , 787 ⋅ 70 ⋅ 0 , 0113       ⟹       m ˙ a r = 2,205   k g / s

No próximo passo, aprenderemos a calcular a quantidade de calor que o ar recebe por unidade de massa q e encerraremos o cálculo de m ˙ c o m b .

Passo 4

q pode ser calculado através da diferença entre a temperatura de estagnação do ar depois de ser aquecido T 02 e a temperatura de estagnação do ar antes de ser aquecido T 01 .

q = c p ⋅ T 02 - T 01

onde c p é o calor específico a pressão constante do ar que vale 1005   J / k g K .

T 01 pode ser encontrada através da fórmula de temperatura de estagnação abaixo.

T 01 = T 1 + V 1 2 2 c p     ⟹     T 01 = 500 + 70 2 2 ⋅ 1005     ⟹     T 01 = 502,4   K

Nós calcularemos T 0 2 a partir da temperatura T 0 1 e usando duas equações. Uma equação que relaciona a temperatura T 0 1 com a temperatura crítica T * e outra equação que relaciona essa temperatura crítica T * com a temperatura T 0 2 . Essas duas equações se encontram abaixo.

T 0 1 T * = 2 + k - 1 ⋅ M a 1 2 ⋅ M a 1 2 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 1 2 2

T 0 2 T * = 2 + k - 1 ⋅ M a 2 2 ⋅ M a 2 2 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 2 2 2

Invertendo a equação de T 0 1 T * e multiplicando ela com a equação de T 0 2 T * , encontramos uma expressão para T 0 2 .

T 0 2 T * ⋅ T * T 0 1 = 2 + k - 1 ⋅ M a 2 2 ⋅ M a 2 2 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 2 2 2 ⋅ 1 + k ⋅ M a 1 2 2 2 + k - 1 ⋅ M a 1 2 ⋅ M a 1 2 ⋅ 1 + k

T 02 T 01 = 2 + k - 1 ⋅ M a 2 2 ⋅ M a 2 2 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 2 2 2 ⋅ 1 + k ⋅ M a 1 2 2 2 + k - 1 ⋅ M a 1 2 ⋅ M a 1 2 ⋅ 1 + k

T 02 = T 01 ⋅ 2 + k - 1 ⋅ M a 2 2 ⋅ M a 2 2 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 2 2 2 ⋅ 1 + k ⋅ M a 1 2 2 2 + k - 1 ⋅ M a 1 2 ⋅ M a 1 2 ⋅ 1 + k

Substituindo os dados que temos nessa fórmula, achamos T 02 .

T 02 = 4401,1   K

Substituindo esse valor na fórmula de q , achamos:

q = c p ⋅ T 02 - T 01       ⟹       q = 1005 ⋅ 4401,1 - 502,4       ⟹       q = 3918193   J / k g

Convertendo q de J para k J , ele vira aproximadamente:

q = 3918193   J k g     ⟹       q ≅ 3918   k J k g

Por último, achamos m ˙ c o m b substituindo q , na expressão de m ˙ c o m b .

m ˙ c o m b = q ⋅ m ˙ a r V A       ⟹       m ˙ c o m b = 3918 ⋅ 2,205 39000       ⟹       m ˙ c o m b = 0 , 22 2   k g / s

Resposta

T 2 = 3902   K

m ˙ c o m b = 0 , 22 2   k g / s

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse a equação da energia unidimensional para o escoamento de canal aberto entre uma seção a montante 1 e uma seção a jusante 2 e explique como a perda de carga pode ser determinada.
Quando podemos dizer que o escoamento em um canal aberto é uniforme? Sob quais condições o escoamento em um canal aberto permanece uniforme?
A melhor seção transversal hidráulica para um canal trapezoidal com largura de base b é aquela para a qual o comprimento da lateral da seção de escoamento é ( a )b( b )b / 2( c )2 b ou ( d ) .
Água escoa através de um canal retangular com 4m de largura e velocidade média de 5m / s . Se o escoamento é crítico, determine a vazão da água.
Qual é a melhor seção transversal hidráulica para um canal aberto: uma com raio hidráulico pequeno ou grande?