Enunciado

Considere o escoamento subsônico de Rayleigh que é acelerado até a velocidade sônica M a = 1 na saída do duto pelo aquecimento. Se o fluido continuar sendo aquecido, o escoamento na saída do duto será supersônico, subsônico ou permanecerá sônico?

Passo 1

Olá, pessoal! Essa é uma questão teórica sobre escoamento de Rayleigh. Essa questão é uma pegadinha, porque a resposta dela vai contra nosso senso comum.

O enunciado fala sobre um escoamento de Rayleigh subsônico (com número de Mach M a menor que 1), no qual o gás é aquecido até uma posição onde seu número de Mach alcança o valor 1 M a = 1 . Ou seja, um gás com velocidade V abaixo da velocidade do som c escoa sem atrito através de um duto que o aquece até ele alcançar a velocidade do som c .

O enunciado quer saber se a velocidade V do gás vai diminuir, permanecer igual à velocidade c do som ou vai ultrapassar a velocidade c do som, caso a gente prolongue o duto e continue a aquecer o gás depois da posição onde M a = 1 .

Para responder essa pergunta, teremos que analisar a linha de Rayleigh do gráfico T-s para ver a tendência de um escoando subsônico sendo aquecido.

A linha de Rayleigh é formada pela combinação de todas as temperaturas T e entropias s que o gás pode ter na saída de em um escoamento de Rayleigh. A linha verde é usada para escoamentos supersônicos M a > 1 e a linha vermelha é usada para escoamentos subsônicos M a < 1 que é o nosso caso.

O ponto “a” da linha de Rayleigh é o ponto de maior entropia s = s m á x . O número de Mach do ponto “a” vale 1 M a a = 1 .

Passo 2

Nesse passo, vamos determinar o que acontece com a velocidade V do gás, quando aquecemos ele mesmo depois de ele atingir um número de Mach igual a 1.

Como a entropia s de um escoamento subsônico aumenta quando ele é aquecido, a tendência do fluido é caminhar para a direita até alcançar o ponto “a”. Logo, a tendência do seu número de Mach é aumentar de M a < 1 para M a = 1 do ponto “a”.

Quando o gás que saí do duto alcança o número de Mach 1, ele alcança também sua entropia máxima s m á x . Isso quer dizer que, qualquer aquecimento além desse limite não vai aumentar o número de Mach de saída do gás! Até se a gente prolongar o duto! O que vai acontecer é que o gás da nova saída terá um número de Mach igual a 1 e o gás que passa pela saída antiga terá um número de Mach menor que 1.

Ou seja, o número de Mach da saída permanece igual a 1, assim como era antes do prolongamento do duto.

Combinando isso, com a equação do número de Mach que se encontra abaixo, achamos quanto vale a velocidade V do fluido na saída do escoamento.

M a = V c       ⟹       1 = V c       ⟹       V = c

Isso significa que a velocidade do fluido permanece igual à velocidade do som c , mesmo após o aquecimento adicional. Em outras palavras, o escoamento na saída do duto permanecerá sônico (com velocidade igual à velocidade do som c ).

Resposta

O escoamento na saída do duto permanecerá sônico

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