Enunciado

Considere a condução de calor permanente unidimensional em uma aleta do tipo pino com diâmetro constante D e condutividade térmica constante. A aleta perde calor por convecção para o ar ambiente a T ∞ (em ) com coeficiente de convecção h e por radiação para as superfícies envolventes a uma temperatura média de T c i r (em K ). A rede nodal da aleta consiste dos nós 0 (na base), 1 (no meio) e 2 (na ponta da aleta), com espaçamento nodal uniforme de ∆ x . Usando a abordagem do balanço de energia, obtenha a formulação de diferenças finitas deste problema para o caso de temperatura especificada na base de aleta e transferência de calor por convecção e radiação na sua ponta.

Passo 1

Primeiramente, podemos assumir algumas condições que nos ajudam a simplificar o problema. São esses:

  • Condutividade térmica constante
  • Transmissão de calor através da aleta em regime permanente;
  • Coeficiente de transferência de calor por convecção e emissividade são constantes e uniformes;

De posse dessas considerações, parte-se para a análise de como resolver o problema.

Passo 2

A rede nodal consiste de 3 nós, e a temperatura no nó 0 é especificada. Então, existem duas temperaturas desconhecidas, T 1 e T 2 , e são necessárias duas equações para determina-las. Usando a abordagem do balanço de energia, como pedido na questão, e tomando todas as transferências de calor na direção do nó sob consideração, a formulação de diferenças finitas fica da seguinte maneira:

Nó interior ( 1 ):

k A T 0 -   T 1 ∆ x + k A T 2 -   T 1 ∆ x + h ( p ∆ x ) T ∞ - T 1 +   ε σ ( p ∆ x ) T c i r 4 - T 1 + 273 4 =   0

No nó na ponta da aleta ( 2 ):

k A T 1 -   T 2 ∆ x + h p ∆ x 2 + A T ∞ - T 2 +   ε σ p ∆ x 2 + A T c i r 4 - T 2 + 273 4 =   0

Onde A =   π D 2 / 4 representa a área da seção transversal da aleta e p =   π D é o perímetro correspondente à essa área de seção transversal.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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