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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 126

A radiação solar incidente em uma grande massa de água limpa ( k = 0,61 W / m . K e α = 0,15   × 10 - 6 m 2 / s ) como lago, rio ou lagoa é, na maior parte, absorvida pela água, e a quantidade absorvida varia de acordo com a profundidade. Para radiação solar incidente em ângulo de 45 ° em um grande lago de 1 m de profundidade cuja superfície inferior é preta (refletividade zero), por exemplo, 2,8 % da energia solar é refletida de volta para a atmosfera, 37,9 % é absorvida pela superfície inferior e o restante 59,3 % é absorvido pela água. Se o lago é considerado como tendo quatro camadas de igual espessura ( 0,25 m , neste caso), pode ser demonstrado que 47,3 % da energia solar incidente é absorvida pela camada superior, 6,1 % pela camada média superior, 3,6 % pela camada média inferior e 2,4 % pela camada inferior. A radiação absorvida pela água pode ser tratada convenientemente como sendo geração de calor, na análise de transferência de calor do lago.

Considere um grande lago de 1 m de profundidade, inicialmente a uma temperatura uniforme de 15 ℃ . A energia solar incide a 45 ° sobre a superfície do lago a uma taxa média anual de 500   W / m ² durante o período de quatro horas. Pressupondo que não haja correntes de convecção na água e utilizando o método explícito de diferenças finitas com tamanho de malha de ∆ x = 0,25 m e passo de tempo ∆ t = 15   m i n , determine a distribuição de temperatura no lago sob as condições mais favoráveis (ou seja, não há perdas de calor a partir da superfície superior ou inferior do lago). A energia solar absorvida pela superfície no fundo do lago pode ser tratada como fluxo de calor para água na superfície, neste caso.

Passo 1

Inicialmente, faremos algumas considerações para podermos pensar na resolução. São as seguintes:

  • Já que a lagoa possui área de superfície muito maior que a profundidade, podemos considerar a condução de calor como unidimensional;
  • Propriedades térmicas, coeficientes de transferência de calor e temperaturas internas são constantes;
  • A transferência de calor por radiação existe e é significativa;
  • Não há correntes de convecção na água;
  • O passo de tempo dado é menor que o passo de tempo crítico, para que sejam satisfeitos os critérios de estabilidade;
  • Todas as perdas de calor da lagoa são desprezíveis;
  • A geração de calor devido à absorção de radiação é uniforme em cada camada.

De posse dessas considerações, pode-se fazer uma análise mais aprofundada do problema.

Passo 2

O espaçamento nodal é de ∆ x = 0,25 m , então a quantidade de nós é M = L / ∆ x + 1 = 1 / 0,25 + 1 = 5 . Então, temos um problema envolvendo 5 temperaturas nodais desconhecidas, então precisaremos de 5 equações para descobri-las. Os nós 2 ,   3 e 4 são interiores, então podemos utilizar a formulação explícita de diferenças finitas, expressa como:

T m - 1 i +   T m + 1 i -   2 T m i +   e ˙ m i ∆ x 2 k =   T m i + 1 -   T m i τ

Onde a variável de interesse é T m i + 1 , q é a temperatura na localização do nó interior. O nó 0 também pode ser analisado como um nó interior pelo conceito de imagem do espelho, e o nó 4 tem a sua equação de diferenças finitas obtida à partir de um balanço energético, seguindo as direções de transferências de calor que vão para o nó.

Nó 0: T 1 i +   T 1 i -   2 T 0 i +   e ˙ 0 i ∆ x 2 k =   T 0 i + 1 -   T 0 i τ  

Nó 1: T 0 i +   T 2 i -   2 T 1 i +   e ˙ 1 i ∆ x 2 k =   T 1 i + 1 -   T 1 i τ  

Nó 2: T 1 i +   T 3 i -   2 T 2 i +   e ˙ 2 i ∆ x 2 k =   T 2 i + 1 -   T 2 i τ  

Nó 3: T 2 i +   T 4 i -   2 T 3 i +   e ˙ 3 i ∆ x 2 k =   T 3 i + 1 -   T 3 i τ  

Nó 4: q ˙ b + k T 3 i -   T 4 i ∆ x +   e ˙ 4 i ∆ x 2 k =   ρ ∆ x 2 C p T 4 i + 1 -   T 4 i ∆ t

Passo 3

O número de Fourier τ pode ser calculado com os dados que o problema fornece:

τ =   α ∆ t ∆ x ² =   0,15   × 10 - 6 m 2 / s 900 s 0,25 m ² = 0,002160

Assim como também podemos determinar os valores dos fluxos de geração de calor:

e ˙ 0 =   E ˙ 0 v o l u m e =   0,473 × 500 W ( 1 m ² ) ( 0,25 m ) = 946 W / m ³

e ˙ 1 =   E ˙ 1 v o l u m e =   0,473 + 0,061 2 × 500 W ( 1 m ² ) ( 0,25 m ) = 534 W / m ³

e ˙ 2 =   E ˙ 2 v o l u m e =   0,061 + 0,036 2 × 500 W ( 1 m ² ) ( 0,25 m ) = 97 W / m ³

e ˙ 3 =   E ˙ 3 v o l u m e =   0,036 + 0,024 2 × 500 W ( 1 m ² ) ( 0,25 m ) = 60 W / m ³

e ˙ 4 =   E ˙ 4 v o l u m e =   0,024 × 500 W ( 1 m ² ) ( 0,25 m ) = 48 W / m ³

E o fluxo de calor na superfície superior:

q ˙ b = 0,379   × 500 W m 2 = 189,5   W / m ²

E as propriedades da água limpa são dadas no problema, logo, após substituição nas equações vistas em cada nó no passo 1 , tém-se a distribuição de temperaturas desejada para cada ponto nodal do lago.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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