Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 74
Considere o escoamento de Couette e um fluido com viscosidade de 0,8 N.s/m2 e condutividade térmica de 0,145 W/m.K. A placa inferior é estacionária e feita de material de condutividade térmica de 1,5 W/m.K, espessura 3 mm. Sua superfície externa é mantida a 50°C. A placa superior está isolada e se move a uma velocidade uniforme 7 m/s. A distância entre as placas é 5 mm.
(a) Esboce a distribuição de temperatura no fluido e na placa estacionária.
(b) Determine a função distribuição de temperatura no fluido (.
(c) Calcule a temperatura máxima do fluido, bem como a temperatura do fluido nas superfícies de contato com as placas inferior e superior.
Passo 1
No item (a) o exercício nos pede apenas para esboçar o perfil de distribuição de temperatura. Sabemos que o fluido está se movendo de acordo com um perfil de velocidade. Então, para o fluido a transferência de calor ocorre por dois mecanismos: condução e convecção. Em termos gerais, como existe convecção espera-se que a distribuição de temperatura do fluido siga um perfil quadrático, ou seja:
E para a placa estacionária, como só ocorre convecção espera-se que a distribuição de temperatura siga um perfil linear da forma:
O esboço dos perfis ficaria como algo do tipo:
Passo 2
Agora no item (b) temos que encontrar o perfil de temperatura no fluido e, (esperamos) comprovar que realmente é um perfil quadrático.
Para encontrar o perfil de temperatura precisaremos resolver as equações da continuidade, quantidade de movimento e energia para o sistema. Vamos lá?
Para o escoamento entre duas placas planas paralelas, a equação da continuidade é dada por:
Em que é a velocidade do fluido na direção e é a velocidade do fluido na direção .
Como o fluido escoa apenas na direção , . Então:
O próximo passo é desenvolver a equação da quantidade de movimento:
Como vimos anteriormente e ; além disso, como a movimentação do fluido ocorre devido ao movimento da placa, e não devido a diferença de pressão, então .
Portanto:
Integrando em y:
Integrando novamente:
Vamos agora aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes e . Para a velocidade as condições de contorno são:
Em que é o espaçamento entre as placas. Nosso sistema de equações fica:
O perfil de velocidade é:
Vamos agora resolver a equação da energia. Para o escoamento entre duas placas planas paralelas a equação é:
Como e só ocorre transferência de calor na direção :
Portanto ficamos com:
Temos condições de calcular :
Substituindo no balanço de energia:
Integrando em :
Integrando em mais uma vez:
As condições de contorno são:
A primeira se refere à temperatura da placa estacionária e a segunda condição é que o fluxo de calor pela placa superior é zero, já que ela está isolada. Aplicando as condições de contorno:
Substituindo as constantes e no perfil de temperatura:
Como esperado encontramos umperfil de temperatura quadrático para o fluido.
Passo 3
O item (c) nos pede para encontrar a temperatura máxima e as temperaturas em e . Com o perfil de temperatura em mãos podemos calcular o ponto de máxima temperatura. Uma breve lembrança dos tempos de cálculo: pontos de máximo ou mínimo de uma função são pontos em que a derivada . Então, o que vamos fazer é derivar em relação a e igualar a zero.
Encontramos a posição em que ocorre a temperatura máxima. Vamos agora aplicar este ponto no perfil de temperatura para encontrar a temperatura máxima do sistema:
Para encontrar a temperatura em basta substituir no perfil de temperatura. Então:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)