Um eixo de 6 cm de diâmetro gira a 3.000 rpm em um mancal de 20 cm de comprimento com folga uniforme de 0,2 mm. O mancal na proximidade da folga do óleo está a 50°C. A viscosidade e a condutividade térmica do óleo lubrificante são 0,05 N.s/m2 e 0,17 W/m.K. Simplificando e resolvendo as equações da continuidade, da quantidade de movimento e de energia, determine (a) a temperatura máxima do óleo, (b) a taxa de transferência de calor para o mancal, e (c) a perda de potência mecânica pela dissipação viscosa do óleo.

Resolva considerando que o eixo atingiu o pico de temperatura e que, portanto, a transferência de calor para o eixo é desprezível.

Para o escoamento entre duas placas planas paralelas, a equação da continuidade é dada por:

Assumindo que o escoamento do óleo é paralelo às placas, . Então:

O próximo passo é desenvolver a equação da quantidade de movimento:

Como vimos anteriormente e ; além disso, como a movimentação do fluido ocorre devido ao movimento da placa, e não devido ao gradiente de pressão, .

Portanto:

Integrando em y:

Integrando novamente:

Vamos agora aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes e . Para a velocidade as condições de contorno são:

Em que é o espaçamento entre as placas. Nosso sistema de equações fica:

O perfil de velocidade é:

Agora, vamos para a equação de balanço de energia:

Como e só ocorre transferência de calor na direção :

Portanto ficamos com:

Temos condições de calcular :

Substituindo no balanço de energia:

Integrando em :

Integrando em mais uma vez:

As condições de contorno são:

A primeira se refere à temperatura do mancal e a segunda condição é que fluxo de calor pelo eixo é zero. Aplicando as condições de contorno:

Substituindo as constantes e no perfil de temperatura:

Sabemos que a camada de óleo em contato com o eixo tem a maior temperatura. Portanto, substituindo no perfil de temperatura iremos descobrir a temperatura máxima do óleo.

Por fim, vamos determinar a taxa de transferência de calor do óleo para o mancal e a potência mecânica dissipada pelo óleo. Vamos para a taxa de transferência de calor em :

Já calculamos a derivada de em relação a . Podemos então substituir a expressão que encontramos:

Agora, vamos calcular a perda de energia por dissipação viscosa. Como vimos no balanço de energia, o termo de dissipação viscosa é:

Como e :

Já calculamos . Substituindo:

Vamos apenas converter o nosso resultado para a unidade de potência (W). Para isso, temos que multiplicar o valor da dissipação pelo volume de óleo.

Multiplicando a dissipação pelo volume: