Enunciado

Um eixo de 6 cm de diâmetro gira a 3.000 rpm em um mancal de 20 cm de comprimento com folga uniforme de 0,2 mm. O mancal na proximidade da folga do óleo está a 50°C. A viscosidade e a condutividade térmica do óleo lubrificante são 0,05 N.s/m2 e 0,17 W/m.K. Simplificando e resolvendo as equações da continuidade, da quantidade de movimento e de energia, determine (a) a temperatura máxima do óleo, (b) a taxa de transferência de calor para o mancal, e (c) a perda de potência mecânica pela dissipação viscosa do óleo.

Resolva considerando que o eixo atingiu o pico de temperatura e que, portanto, a transferência de calor para o eixo é desprezível.

Passo 1

Vamos imaginar o mancal como um sistema de duas placas planas paralelas, com óleo entre elas. Umas das placas se move com uma velocidade V e a outra está parada. As superfícies do mancal está a 50°C.

Além disso, temos informação de que o diâmetro do eixo ( D ) é 6 cm, a frequência de rotação ( f ) é 3.000 rpm e a folga ( L ) é de 0,2 mm. As propriedades do óleo são: μ = 0,05   N s / m 2 e k = 0,17   W / m K .

Agora que já temos informação do nosso problema iremos calcular a velocidade da placa. O eixo está realizando um movimento circular. Em um movimento circular podemos calcular V a partir de sua frequência de rotação ( f ) e o raio do eixo ( R ):

V = 2 π f R

V = 2 x π x 3000 x 3 x 10 - 2 60

V = 9,4   m / s

Podemos então prosseguir para as equações de continuidade, quantidade de movimento e energia.

Passo 2

Para o escoamento entre duas placas planas paralelas, a equação da continuidade é dada por:

δ u ∂ x + ∂ v ∂ y = 0

Assumindo que o escoamento do óleo é paralelo às placas, v = 0 . Então:

δ u ∂ x = 0

u = u ( y )

O próximo passo é desenvolver a equação da quantidade de movimento:

ρ u ∂ u ∂ x + v ∂ u d y = μ   ∂ 2 u ∂ y 2 - ∂ P ∂ x

Como vimos anteriormente v = 0 e δ u ∂ x = 0 ; além disso, como a movimentação do fluido ocorre devido ao movimento da placa, e não devido ao gradiente de pressão, ∂ P ∂ x = 0 .

Portanto:

∂ 2 u ∂ y 2 = 0

Integrando em y:

∫ ∂ 2 u ∂ y 2 d y = ∫ 0 d y

∂ u ∂ y = C 1

Integrando novamente:

∫ ∂ u ∂ y d y = ∫ C 1 d y

u = C 1 y + C 2

Vamos agora aplicar as condições de contorno para encontrar as constantes C 1 e C 2 . Para a velocidade u ( y ) as condições de contorno são:

u 0 = 0

u L = 9,4   m / s

Em que L é o espaçamento entre as placas. Nosso sistema de equações fica:

0 = C 1 x 0 + C 2 → C 2 = 0

9,4 = C 1 x L + 0 → C 1 = 9,4 L

O perfil de velocidade é:

u y = 9,4 L y

Agora, vamos para a equação de balanço de energia:

ρ c p μ ∂ T ∂ x + v ∂ T ∂ y = k   ∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 + μ φ

Como v = 0 e só ocorre transferência de calor na direção y :

∂ T ∂ x = 0

v ∂ T ∂ y = 0

∂ 2 T ∂ x 2 = 0

Portanto ficamos com:

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ φ

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ ( 2 ∂ u ∂ x 2 + ∂ v ∂ y 2 + ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x 2

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ ∂ u ∂ y 2

Temos condições de calcular ∂ u ∂ y :

∂ u ∂ y = ∂ ∂ y ( 9,4 y L )

∂ u ∂ y = 9,4 L

Substituindo no balanço de energia:

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ 9,4 L 2

0 = k   ∂ 2 T ∂ y 2 + μ 88,8 L 2

∂ 2 T ∂ y 2 = -   μ 88,8 k L 2

Integrando em y :

∫ ∂ 2 T ∂ y 2 d y = - ∫ μ 88,8 k L 2 d y

∂ T ∂ y = -   μ 88,8 k L 2 y + C 1

Integrando em y mais uma vez:

∫ ∂ T ∂ y d y = ∫ ( - μ 88,8 k L 2 y + C 1 ) d y

T y = - μ 44,4 k L 2 y 2   + C 1 y + C 2

As condições de contorno são:

T 0 = 50 ° C

q ˙ y = L = - k ∂ T ∂ y y = L = 0

A primeira se refere à temperatura do mancal e a segunda condição é que fluxo de calor pelo eixo é zero. Aplicando as condições de contorno:

50 = - μ 44,4 k L 2 x 0 2   + C 1 x 0 + C 2 → C 2 = 50 ° C

∂ T ∂ y = -   μ 88,8 k L 2 y + C 1

- k ∂ T ∂ y y = L = 0

∂ T ∂ y y = L = 0 = -   μ 88,8 k L 2 x L + C 1 → C 1 = μ 88,8 k L

Substituindo as constantes C 1 e C 2 no perfil de temperatura:

T y = 50 + μ 88,8 k L y - μ 44,4 k L 2 y 2  

Sabemos que a camada de óleo em contato com o eixo tem a maior temperatura. Portanto, substituindo y = L no perfil de temperatura iremos descobrir a temperatura máxima do óleo.

T L = 50 + μ 88,8 k L L - μ 44,4 k L 2 L 2  

T L = 50 + μ 88,8 k - μ 44,4 k

T L = 50 + μ 44,4 k

T L = 50 + 0,05 x 44,4 0,17

T L = 63,06   ° C

Passo 3

Por fim, vamos determinar a taxa de transferência de calor do óleo para o mancal e a potência mecânica dissipada pelo óleo. Vamos para a taxa de transferência de calor em y = 0 :

q ˙ y = 0 = - k ∂ T ∂ y y = 0

Já calculamos a derivada de T em relação a y . Podemos então substituir a expressão que encontramos:

q ˙ y = 0 = - k -   μ 88,8 k L 2 y + μ 88,8 k L y = 0

q ˙ y = 0 = μ 88,8 L y L - 1

q ˙ y = 0 = - 0,05 x 88,8 0,2 x 10 - 3

q ˙ y = 0 = - 2,22 x 10 4   W / m 2

Agora, vamos calcular a perda de energia por dissipação viscosa. Como vimos no balanço de energia, o termo de dissipação viscosa é:

D i s s i p a ç ã o = μ φ

D i s s i p a ç ã o = μ ( 2 ∂ u ∂ x 2 + ∂ v ∂ y 2 + ∂ u ∂ y + ∂ v ∂ x 2

Como ∂ u ∂ x = 0 e v = 0 :

D i s s i p a ç ã o = μ ∂ u ∂ y 2

Já calculamos ∂ u ∂ y . Substituindo:

D i s s i p a ç ã o = μ 9,4 L 2

D i s s i p a ç ã o = 0,05 9,4 0,2 x 10 - 3 2

D i s s i p a ç ã o = 1,1 x 10 8   N / m 2 s

Vamos apenas converter o nosso resultado para a unidade de potência (W). Para isso, temos que multiplicar o valor da dissipação pelo volume de óleo.

V o l u m e = π x C o m p r i m e n t o 4 ( D e x t 2 - D i n t 2 )

V o l u m e = π x 20 x 10 - 2 4 x 6 x 10 - 2 + 0,4 x 10 - 3 2 - 6 x 10 - 2 2

V o l u m e = 7,6 x 10 - 6   m 3

Multiplicando a dissipação pelo volume:

P o t ê n c i a   d i s s i p a d a = D i s s i p a ç ã o x V o l u m e

P o t ê n c i a   d i s s i p a d a = 8,32   x   10 2   W

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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