Considere o escoamento laminar completamente desenvolvido no espaço anular formado pelos dois cilindros concêntricos mostrados no diagrama do Problema 8.53, porém com gradiente de pressão, ∂p/∂x, e o cilindro interno estacionário. Seja e . Mostre que o perfil de velocidade é dado por:

Agora é a vez de integrar!!! Temos:

Separando:

Aqui a gente imagina dois pontos no qual não temos os valores, mas tudo bem, ainda é verdade que no ponto , a pressão é e no ponto a pressão é , certo?

Integrando, ficamos com:

Que pode ser reescrito como:

Agora vamos para a segunda integração! Temos que separar de novo:

Jogando as constantes para fora e integrando:

Ficamos com:

Se tivessemos o escoamento dentro de um tubo, saberiamos que quando a derivada de seria zero, por ser um ponto onde a velocidade é máxima! Mas não é o que temos aqui!

Aqui o escoamento é no espaço anular entre dois tubos, então não temos nenhum valor para substituir e achar , portanto vamos manter e seguir em frente!

Vamos separar de novo:

Jogando as constantes pra fora e aplicando a integral:

Integrando:

Vamos tirar esse sinal da frente de invertendo o logaritimo, só pra ficar mais arrumadinho!!

DICA!!!!! Esse tipo de questão estamos trabalhando com muitas manipulações na expressão, então SEMPRE que for possível isolar elementos repetidos, ou simplificar a expressão faça isso! Vai facilitar a nossa vida mais pra frente e nos poupa de erros de sinais e coisas do tipo! Combinado?!

Isolando :

O enunciado diz que e . A velocidade nesses pontos não é dada, mas como se trata das paredes dos tubos interno e externo, pela condição de não deslizamento, sabemos que nesses pontos é igual a zero!

A primeira condição de contorno:

Vamos substituir na a expressão antes de isolarmos , porque depois podemos igualar :

A segunda condição de contorno:

Aplicando:

Igualando as duas expressões:

Jogando tudo com para a direita:

Aplicando a propriedade de subtração e divisão do logarítimo:

Finalmente isolando :

Agora vamos achar , pegando qualquer uma das condições de contorno:

Substituimos :

já esta isolado, só precisamos dar aquela ajeitadinha:

Substituindo e , agora a gente vai usar a expressão com o já isolado:

Viiiu como ficou grandão!! Agora imagina a confusão se não estivessemos sempre orgnizando as expressões:

Colocando termos em evidência:

Teroricamente acabamos, mas a expressão ainda não esta igual a do enunciado, então a gente vai dar uma brincadinha com os sinais de menos até chegarmos lá, uma das estratégias que vamos usar é:

E a outra é que:

Ficamos com:

A única coisa diferente é , mas:

Se a gente considerarmos que os pontos e estão beeeeeem pertinhos, que a distância é infinitesimal!

Logo:

Uhuuuuuul!!

Agora vamos oberr a expressão para a localização da velocidade máxima como uma função de k. Fazendo !

Para isso vamos pegar uma expressão onde aparece a derivada da velocidade em relação a :

Conhecemos :

Isolando a derivada:

Substituindo :

Arrumando:

Ficamos com:

Substitundo :

Arrumando:

Uhuuul!! Agoora sim!!!