Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 54
Considere um granizo de 0,8 cm de diâmetro caindo livremente no ar a 1 atm e 5 °C. Determine a velocidade terminal do granizo. Considere a densidade do granizo como 910 kg/m³.
Passo 1
Antes de começar esse exercício, nós vamos lá na tabela A.9 do apêndice A para pegar as propriedades de interesse do ar nas condições de 1 atm e 5 °C, de onde teremos:
Beleza! Nós sabemos então que a velocidade terminal de um objeto em queda livre ocorre quando a força de arrasto se iguala ao peso do objeto em queda menos a força de empuxo exercida pelo meio em que está, ou seja, resumindo isso, temos:
No nosso caso, poderemos desprezar a força de empuxo exercida pelo ar, já que a densidade do ar é muito menor do que a densidade do granizo. Dessa forma, a equação acima se torna:
Sabendo que a força de arrasto é dada por:
E, que a área nesse caso é dada pela área transversal da esfera, temos:
Substituindo essa expressão na equação para a força de arrasto, teremos:
Agora, sabendo que o peso da esfera de granizo pode ser dado pelo volume vezes a sua densidade vezes a aceleração da gravidade, teremos:
Passo 2
Agora então, nós vamos substituir as expressões encontradas para a força de arrasto e para o peso da esfera de granito lá na equação do passo 1, então teremos:
Isolando a velocidade dessa expressão, chegamos em:
Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:
Agora, como precisamos determinar o coeficiente de arrasto, o que, por sua vez, depende do número de Reynolds. Então, sabendo que Reynolds é dado por:
Substituindo os valores conhecidos nessa equação, teremos:
Precisamos da velocidade para encontrar o número de Reynolds para poder encontrar o coeficiente de arrasto e, por sua vez, determinar a velocidade real. Então, estamos em um problema clássico de iteração. Nesse caso, precisamos chutar um valor de , vamos começar com:
Passo 3
Para esse valor de velocidade, nosso Reynolds será:
Então, agora precisamos ir lá na figura 11-34 que vimos nesse capítulo para encontrar o coeficiente de arrasto em função do número de Reynolds que encontramos. Então com o auxílio da figura 11-34 a seguir:
Para o nosso número de Reynolds então, conforme destacado no gráfico acima, teremos:
Com isso, substituindo esse valor na equação para a velocidade encontrada no passo 2, temos:
Vamos realizar mais uma iteração com essa velocidade, então, para esse valor, teremos um Reynolds de:
Da figura 11-34, podemos ver que teremos o mesmo coeficiente de arrasto , o que resultará na mesma velocidade terminal encontrada na primeira iteração de:
Então, essa de fato é a velocidade terminal do granizo em meio ao ar a 1 atm e 5 °C.