39 – Considere uma panela de alumínio usada para cozinhar um ensopado no fogão elétrico. A seção inferior da panela tem espessura e diâmetro . Uma boca do fogão consome de potência durante seu uso, e 90% do calor gerado é transferido uniformemente para a panela. Durante a operação permanente, a temperatura da superfície interna da panela é de . Assumindo a transferência de calor unidimensional e condutividade térmica dependente da temperatura, expresse a formulação matemática (equação diferencial e condições de contorno) desse problema de condução de calor durante a operação permanente. Não resolva.

Vamos escrever a equação geral de condução de calor.

Aqui,  é a densidade do corpo considerada, é o calor específico,  é o gradiente de temperatura em relação ao tempo,  ∂ T ∂ x   é o gradiente espacial de temperatura ao longo da  direção, é o gradiente espacial de temperatura ao longo da  direção,  é o espacial gradiente de temperatura ao longo da direção e  é a taxa de geração de calor por unidade de volume.

Aqui, a panela é unidimensional, constante, sem geração interna de calor e a condutividade térmica varia com a temperatura.

A equação se reduz a,

Aqui está a condutividade térmica média e  é a constante de integração.

A condutividade térmica média é dada por,

A equação diferencial governante é 

Escreva as condições de contorno do sistema. Onde ,

Temos que: e

Aqui é a temperatura de superfície interna da panela.

Portanto, as condições de contorno para o problema de condução de calor durante o estado estacionário são

Calcule a área da superfície da panela.

Agora conseguimos calcular o fluxo de calor na parte inferior da panela com a seguinte relação:

Aqui  é a taxa de transferência de calor,  a eficiência,  o fluxo de calor no fundo da panela,  a potência durante o cozimento e  a área da seção transversal da panela.

Substituindo , e

Portanto, o fluxo de calor no fundo da panela é .