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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 173

Considere o veículo mostrado no Problema 4.149. Partindo do repouso, ele é propelido por uma catapulta hidráulica (jato de líquido). O jato atinge a superfície curva e faz uma volta de 180 ° , saindo na horizontal. As resistências do ar e de rolamento podem ser desprezadas. Usando a notação mostrada, obtenha uma equação para a aceleração do veículo em qualquer instante e determine o tempo requerido para o veículo desenvolver a velocidade u = v / 2 .

Passo 1

Considerações Iniciais:

  1. Escoamento em estado estacionário;
  2. Escoamento incompressível;
  3. Escoamento com velocidade constante ( V = v - u ) ;
  4. Escoamento uniforme;
  5. Força de corpo desprezível;
  6. Força de resistência desprezível.

Passo 2

Pelas considerações feitas no passo 1, utilizaremos a seguinte equação da quantidade de movimento:

F = F S + F B - ∫ V C a r ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C V ρ   d ∀ + ∫ S C V ( ρ V ) d A = 0

Como estamos analisando um sistema x , temos:

F S x + F B x - ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não há resistência ne força de campo, então, F S x = F B x = 0 :

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∂ ∂ t ∫ V C u ρ   d ∀ + ∫ S C u ( ρ V ) d A

Não temos a variação das propriedades com o tempo, então:

∂ ∂ t = 0

Assim:

- ∫ V C a r x ρ d ∀ = ∫ S C u ( ρ V ) d A

Então:

- a r x ⋅ m = u 1 - ρ V A + u 2 ( ρ V A )

Sendo:

u 1 = v - u ;

u 2 = - ( v - u ) ;

Temos:

- a r x ⋅ m = v - u ⋅ - ρ V A - v - u ⋅ ( ρ V A )

a r x = 2 ρ v - u 2 A m

Passo 3

Temos que a r x = d u d t , assim:

d u d t =   2 ρ v - u 2 A m

d u v - u 2 = 2 ρ A m d t

Integrando de u = 0 a u = u :

∫ v v - u d u v - u 2 = 2 ρ A m ∫ 0 t d t

Integrando:

1 v - u - 1 v = 2 ρ A m t

Rearranjando:

u v ( v - u ) = 2 ρ A m t

v - u u = m 2 ρ A v t

v u = 1 + m 2 ρ A v t

v u = 2 ρ A v t + m 2 ρ A v t

u v = 2 ρ A v t 2 ρ A v t + m

u = v 2 ρ A v t 2 ρ A v t + m

Passo 4

Substituindo u em v - u :

v - u = v - v 2 ρ A v t 2 ρ A v t + m

v - u = v 1 - 2 ρ A v t 2 ρ A v t + m

Voltando na equação do Passo 2:

a r x = 2 ρ v - u 2 A m

a r x = 2 ρ A m v 2 1 - 2 ρ A v t 2 ρ A v t + m 2

Rearranjando:

a r x = 2 ρ A m v 2 m 2 ρ A v t + m 2

Assim, obtemos uma equação para a aceleração do veículo em qualquer instante.

Passo 5

Determinando o tempo requerido para o veículo desenvolver a velocidade u = v / 2 .

u = v 2 ρ A v t 2 ρ A v t + m

v 2 = v 2 ρ A v t 2 ρ A v t + m

1 2 = 2 ρ A v t 2 ρ A v t + m

2 ρ A v t + m 2 = 2 ρ A v t

ρ A v t + m 2 = 2 ρ A v t

t = m 2 ρ A v

Resposta

a r x = 2 ρ A m v 2 m 2 ρ A v t + m 2

t = m 2 ρ A v

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