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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 13

Deduza formas modificadas das equações de camada-limite laminar (7.19) para o caso de escoamento axialmente simétrico ao longo da superfície externa do cilindro circular de raio constante R, como na Figura P7.13. Considere os dois casos especiais (a) d

Passo 1

E aí, galera, tudo bem? MecFlu pode parecer difícil, mas cola aqui que eu vou te ajudar!

Em primeiro lugar, pode parecer esquisito mas vamos resolver a letra (b), para o caso da espessura da camada-limite laminar ser δ ≈ R .

Vamos analisar a equação da continuidade e as equações do movimento para coordenada cilíndricas:

1 r ∂ ∂ r r v r + 1 r ∂ ∂ θ v θ + ∂ ∂ x u = 0   ( E q u a ç ã o   d a   c o n t i n u i d a d e ) ∂ v r ∂ t + V ∙ ∇ v r - 1 r v θ 2 = - 1 ρ ∂ p ∂ r + g r + ν ∇ 2 v r - v r r 2 - 2 r 2 ∂ v θ ∂ θ   ( E q u a ç ã o   d o   m o v i m e n t o   e m   r ) ∂ v θ ∂ t + V ∙ ∇ v θ + 1 r v r v θ = - 1 ρ r ∂ p ∂ θ + g θ + ν ∇ 2 v θ - v θ r 2 - 2 r 2 ∂ v r ∂ θ   ( E q u a ç ã o   d o   m o v i m e n t o   e m   θ ) ∂ u ∂ t + V ∙ ∇ u = - 1 ρ ∂ p ∂ x + g x + ν 1 r ∂ ∂ r r ∂ u ∂ r + 2 r 2 ∂ 2 u ∂ θ 2 + ∂ 2 u ∂ x 2     ( E q u a ç ã o   d o   m o v i m e n t o   e m   x )

Em primeiro lugar, como afirma o enunciado, temos simetria axial, então ∂ / ∂ θ   = 0 e v θ     = 0   .

Além disso, como deduzido por Prandtl, a relação entre as velocidades em r e em x , bem como as relações entre suas taxas de variação, são dadas por:

v r ≪ u

∂ u ∂ x ≪ ∂ u ∂ r

∂ v r ∂ x ≪ ∂ v r ∂ r

Dessa maneira, se a gente substituir todas essas relações na equação do movimento em r , vamos ver que ∂ p ∂ r ≈ 0 . Sendo assim, p = p ( x ) .

No entanto, considerando um cilindro longo p = c o n s t a n t e   e ∂ p ∂ x ≈ 0 .

Assim, considerando δ ≈ R , nossas equações se tornam apenas:

1 r ∂ ∂ r r v r + ∂ u ∂ x ≈ 0   ( E q u a ç ã o   d a   c o n t i n u i d a d e ) V ∙ ∇ u ≈ + ν 1 r ∂ ∂ r r ∂ u ∂ r     ( E q u a ç ã o   d o   m o v i m e n t o   e m   x )

Ou seja, para o caso onde δ ≈ R , a geometria radial é importante

Passo 2

Agora a gente vai finalizar a questão resolvendo a letra (a).

Nesse caso, teremos δ ≪ R , o que significa dizer que r = R + y ≈ R .

Ou seja, se analisarmos perto da parede do tubo, que é onde a camada-limite se encontra, nós veremos uma parede plana e, de fato, vamos poder reduzir nossa análise a coordenadas cartesianas.

Logo, nossas equações serão:

∂ v r ∂ y + ∂ u ∂ x ≈ 0   ( E q u a ç ã o   d a   c o n t i n u i d a d e ) u ∂ u ∂ x + v r ∂ v r ∂ y ≈ + ν ∂ ² u ∂ y ²     ( E q u a ç ã o   d o   m o v i m e n t o   e m   x )

E, como vocês podem perceber, essas são exatamente as equações da camada-limite para uma placa plana.

Resposta

(a) Para δ ≪ R :

∂ v r ∂ y + ∂ u ∂ x ≈ 0   ( E q u a ç ã o   d a   c o n t i n u i d a d e ) u ∂ u ∂ x + v r ∂ v r ∂ y ≈ + ν ∂ ² u ∂ y ²     ( E q u a ç ã o   d o   m o v i m e n t o   e m   x )

(b) Para δ ≈ R :

1 r ∂ ∂ r r v r + ∂ u ∂ x ≈ 0   ( E q u a ç ã o   d a   c o n t i n u i d a d e ) V ∙ ∇ u ≈ + ν 1 r ∂ ∂ r r ∂ u ∂ r     ( E q u a ç ã o   d o   m o v i m e n t o   e m   x )

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