Um disco de hóquei de mesa tem uma massa de 50   g e diâmetro de 9   c m . Quando colocado sobre a mesa de ar, um filme de ar a 20   ° C de 0,12   m m de espessura se forma sob o disco. O disco é lançado a uma velocidade inicial de 10   m / s . Considerando uma distribuição linear de velocidade no filme de ar, quanto tempo levará para o disco:

(a) atingir a velocidade de 1   m / s

(b) parar completamente?

(c) que distância, ao longo dessa mesa extremamente longa, o disco terá percorrido para a condição (a)?

Passo 1

Vamos lá, essa não é nenhum bicho de 7 cabeças.

Primeiro vamos considerar o seguinte, a área da superfície inferior do disco de hóquei é!

A = π D 2 4

Vamos considerar que ele está viajando a uma direção x e a única força atuando é a força de arrasto do ar, então:

Σ F x = - τ A = - μ ⋅ V h ⋅ A = m ⋅ d V d t

Lembrando que h é a espessura do filme. Agora vamos isolar as variáveis e integrar!

- μ A m h ⋅ ∫ 0 t d t = ∫ V 0 V d V V

- μ A m h ⋅ t = ln ⁡ V - V 0 = ln ⁡ V V 0

Agora vamos aplicar a exponencial!

exp ⁡ - μ A m h ⋅ t = V V 0

V = V 0 ⋅ exp ⁡ - μ A m h ⋅ t

Integrando novamente em função do tempo encontramos a distância percorrida pelo disco!

∫ 0 t V ⋅ d t = ∫ 0 t V 0 ⋅ e - μ A m h ⋅ t ⋅ d t

x = V 0 μ A m h 1 - e - μ A t m h    

x = m h V 0 μ A ⋅ 1 - exp ⁡ - μ A t m h

Passo 2

a)

A questão pede a o tempo necessário para o disco atingir a velocidade de 1   m / s então bora resolver isso!

Para o ar a 20 ° C vamos considerar a viscosidade de μ = 1,8 ⋅ 10 - 5   k g m ⋅ s

Nossa questão nos pede a formula para a velocidade terminal de queda do cilindro pelo tubo.

V = V 0 ⋅ exp ⁡ - μ A m h ⋅ t

V = 1   m s

1   m s = 10   m s ⋅ exp ⁡ - 1,8 ⋅ 10 - 5   k g m ⋅ s π 4 ⋅ 0,09   m 2 0,050   k g ⋅ 0,00012   m ⋅ t

Resolvendo para t encontramos

t = 120,6   s ≈ 121   s

Passo 3

b)

A questão nos pede quando o disco vai parar

V = V 0 ⋅ exp ⁡ - μ A m h ⋅ t

Mas espera um pouco, a velocidade do disco varia com uma função que tem a seguinte característica!

V = a ⋅ e - b ⋅ t

V = a e b ⋅ t

Onde a e b são constantes, então para V = 0 , t deve ser um número muuuuuuuuuuito grande, assim:

V → 0 ; t → ∞

Passo 4

c)

Pra encerrar de vez com essa bendita questão, vamos resolver a distância percorrida para t que encontramos na letra a :

x = m h V 0 μ A ⋅ 1 - exp ⁡ - μ A t m h

x = 10   m s 1,8 ⋅ 10 - 5   k g m ⋅ s π 4 ⋅ 0,09   m 2 0,050   k g ⋅ 0,00012   m ⋅ 1 - e - 1,8 ⋅ 10 - 5   k g m ⋅ s π 4 ⋅ 0,09   m 2 ⋅ 121   s 0,050   k g ⋅ 0,00012   m

x = 10   m s 0,0191   s - 1 ⋅ 1 - e 0,0191   s - 1 ⋅ 121   s

x ≈ 472   m

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

a) t ≈ 121   s

b) t → ∞

c) x ≈ 472   m

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