Enunciado

Ar entra em um duto retangular a T 1 = 300   K , P 1 = 420   k P a e M a 1 = 2 . Calor é transferido para o ar na quantidade de 55   k J / k g , à medida que escoa através do duto. Desprezando as perdas por atrito, determine a temperatura e o número de Mach na saída do duto.

Passo 1

A questão é sobre um escoamento de Rayleigh de ar por um tubo retangular. O ar é aquecido com 55   k J / k g de calor por unidade de massa. O problema pede, primeiro, que a gente calcule o número de Mach M a 2 que o ar passa a ter depois de ser aquecido. Depois a questão quer saber quanto vale a temperatura T 2 do ar após seu aquecimento.

T 1 é a temperatura do ar antes do aquecimento. P 1 é a pressão do ar antes do aquecimento. M a 1 é o número de Mach do ar antes do aquecimento. q é a quantidade de calor por unidade de massa que o ar recebe.

No próximo passo, será a primeira etapa para encontrar M a 2 .

Passo 2

Esse passo é a primeira parte para calcular M a 2 . Nessa primeira etapa para descobrir M a 2 calculamos a temperatura de estagnação do ar depois do aquecimento T 02 .

T 02 é encontrado, reorganizando a fórmula de q abaixo.

q = c p ⋅ T 02 - T 01       ⟹       T 02 = T 01 + q c p

onde c p é o calor específico a pressão constante do ar. Ele vale 1,005   k J / k g (ou 1005   J / k g ) para o ar.

T 01 é a temperatura de estagnação do ar que ainda não foi aquecido. Ela pode ser encontrada a partir da equação de temperatura de estagnação abaixo.

T 01 = T 1 + V 1 2 2 c p

onde V 1 é a velocidade do ar antes de ser aquecido. V 1 pode ser calculado através da fórmula do número de Mach abaixo. Essa fórmula considera que a velocidade do som c 1 antes do aquecimento pode ser obtida pela fórmula de gás ideal c 1 = k R T 1 . Nessa fórmula, k é uma constante de vale 1,4 para o ar e R é a constante do ar que vale 287   J / K g K .

M a 1 = V 1 c 1     ⟹     V 1 = M a 1 ⋅ c 1     ⟹     V 1 = M a 1 ⋅ k R T 1     ⟹     V 1 = 2 ⋅ 1,4 ⋅ 287 ⋅ 300

V 1 = 694,4   m / s

Substituindo esse valor na expressão de T 01 :

T 01 = T 1 + V 1 2 2 c p     ⟹     T 01 = 300 + 694,4 2 2 ⋅ 1005     ⟹     T 01 = 539,9   K

Com esse valor, somos capazes de achar T 02 .

T 02 = T 01 + q c p       ⟹       T 02 = 539,9 + 55 1,005       ⟹       T 02 = 594,6   K

No próximo passo vamos descobrir como achar M a 2 a partir de T 02 .

Passo 3

Essa é a segunda etapa para achar M a 2 . Faremos isso através da tabela A-15 do livro que possui valores de número de Mach M a para cada valor da razão entre a temperatura de estagnação T 0 e a temperatura de estagnação crítica T 0 * T 0 / T 0 * . Ou seja, acharemos M a 2 , calculando T 02 / T 0 * . Achamos T 0 * vendo quanto vale T 01 / T 0 * usando a tabela A-15 para M a 1 = 2 . T 01 / T 0 * está na mesma linha que o número de Mach 2 e na mesma coluna que T 0 / T 0 * .

T 01 T 0 * = 0,7934

Reorganizando essa equação e substituindo o valor de T 01 encontrado no primeiro passo, achamos T 0 *

T 01 T 0 * = 0,7934     ⟹     T 0 * = T 01 0,7934     ⟹     T 0 * = 539,9 0,7934     ⟹       T 0 * = 680,5   K

Dividindo T 02 por T 0 * , achamos:

T 02 T 0 * = 594,6 680,5       ⟹       T 02 T 0 * = 0,874

Para achar T 01 T 0 * , nós usamos a tabela A-15 da seguinte forma: descobrimos quanto T 01 T 0 * valia para um determinado valor de número de Mach M a 1 = 2 . Agora, para achar M a 2 , nós usaremos a tabela A=15 da forma oposta. Temos que descobrir qual valor de M a 2 está na mesma linha que T 02 T 0 * e na mesma coluna que M a . No entanto, não existe valor de T 0 T 0 * igual a 0,874 !

O T 0 T 0 * que temos está entre dois valores de T 0 T 0 * da tabela: T 0 T 0 * = 0,8363 e T 0 T 0 * = 0,8842 . Ou seja, o número de Mach M a 2 está entre dois números de Mach: M a = 1,8 relativo a T 0 T 0 * = 0,8363 e M a = 1,6 relativo a T 0 T 0 * = 0,8842 . Para achar M a para o valor de T 0 T 0 * que queremos, teremos que interpolar!

M a 2 = 1,6 + 1,8 - 1,6 0,8363 - 0,8842 ⋅ 0,874 - 0,8842

M a 2 = 1,64

Passo 4

Nesse passo, nós calcularemos T 2 a partir da temperatura T 1 e usando duas equações. Uma equação que relaciona a temperatura T 1 com a temperatura crítica T * e outra equação que relaciona essa temperatura crítica T * com a temperatura T 2 . Essas duas equações se encontram abaixo.

T 1 T * = M a 1 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 1 2 2

T 2 T * = M a 2 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 2 2 2

Lembrando que k é uma constante que vale 1,4 para o ar.

Invertendo a equação de T 1 T * e multiplicando ela com a equação de T 2 T * , encontramos uma expressão para T 2 .

T 2 T * ⋅ T * T 1 = M a 2 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 2 2 2 ⋅ 1 + k ⋅ M a 1 2 M a 1 ⋅ 1 + k 2

T 2 T 1 = M a 2 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 2 2 2 ⋅ 1 + k ⋅ M a 1 2 M a 1 ⋅ 1 + k 2

T 2 = T 1 ⋅ M a 2 ⋅ 1 + k 1 + k ⋅ M a 2 2 2 ⋅ 1 + k ⋅ M a 1 2 M a 1 ⋅ 1 + k 2

Por último, substituindo os dados na expressão de T 2 , achamos a expressão dessa temperatura.

T 2 = 300 ⋅ 1,64 ⋅ 1 + 1,4 1 + 1,4 ⋅ 1,64 2 2 ⋅ 1 + 1,4 ⋅ 2 2 2 ⋅ 1 + 1,4 2

T 2 = 386,9   K

Resposta

M a 2 = 1,64

T 2 = 386,9   K

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