Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 93
Ar entra em um duto retangular a , e . Calor é transferido para o ar na quantidade de , à medida que escoa através do duto. Desprezando as perdas por atrito, determine a temperatura e o número de Mach na saída do duto.
Passo 1
A questão é sobre um escoamento de Rayleigh de ar por um tubo retangular. O ar é aquecido com de calor por unidade de massa. O problema pede, primeiro, que a gente calcule o número de Mach que o ar passa a ter depois de ser aquecido. Depois a questão quer saber quanto vale a temperatura do ar após seu aquecimento.
é a temperatura do ar antes do aquecimento. é a pressão do ar antes do aquecimento. é o número de Mach do ar antes do aquecimento. é a quantidade de calor por unidade de massa que o ar recebe.
No próximo passo, será a primeira etapa para encontrar .
Passo 2
Esse passo é a primeira parte para calcular . Nessa primeira etapa para descobrir calculamos a temperatura de estagnação do ar depois do aquecimento .
é encontrado, reorganizando a fórmula de abaixo.
onde é o calor específico a pressão constante do ar. Ele vale (ou ) para o ar.
é a temperatura de estagnação do ar que ainda não foi aquecido. Ela pode ser encontrada a partir da equação de temperatura de estagnação abaixo.
onde é a velocidade do ar antes de ser aquecido. pode ser calculado através da fórmula do número de Mach abaixo. Essa fórmula considera que a velocidade do som antes do aquecimento pode ser obtida pela fórmula de gás ideal . Nessa fórmula, é uma constante de vale para o ar e é a constante do ar que vale .
Substituindo esse valor na expressão de :
Com esse valor, somos capazes de achar .
No próximo passo vamos descobrir como achar a partir de .
Passo 3
Essa é a segunda etapa para achar . Faremos isso através da tabela A-15 do livro que possui valores de número de Mach para cada valor da razão entre a temperatura de estagnação e a temperatura de estagnação crítica . Ou seja, acharemos , calculando . Achamos vendo quanto vale usando a tabela A-15 para . está na mesma linha que o número de Mach e na mesma coluna que .
Reorganizando essa equação e substituindo o valor de encontrado no primeiro passo, achamos
Dividindo por , achamos:
Para achar , nós usamos a tabela A-15 da seguinte forma: descobrimos quanto valia para um determinado valor de número de Mach . Agora, para achar , nós usaremos a tabela A=15 da forma oposta. Temos que descobrir qual valor de está na mesma linha que e na mesma coluna que . No entanto, não existe valor de igual a !
O que temos está entre dois valores de da tabela: e . Ou seja, o número de Mach está entre dois números de Mach: relativo a e relativo a . Para achar para o valor de que queremos, teremos que interpolar!
Passo 4
Nesse passo, nós calcularemos a partir da temperatura e usando duas equações. Uma equação que relaciona a temperatura com a temperatura crítica e outra equação que relaciona essa temperatura crítica com a temperatura . Essas duas equações se encontram abaixo.
Lembrando que é uma constante que vale para o ar.
Invertendo a equação de e multiplicando ela com a equação de , encontramos uma expressão para .
Por último, substituindo os dados na expressão de , achamos a expressão dessa temperatura.