Enunciado

Ar entra em um duto sem atrito com V 1 = 70   m / s , T 1 = 600   K , e P 1 = 350   k P a . Deixando a temperatura de saída T 2 variar de 600 a 5.000   K , avalie a variação da entropia a intervalos de 200   K , e faça um gráfico da linha de Rayleigh em um diagrama T-s.

Passo 1

A questão é sobre um escoamento de Rayleigh do ar através de um duto. Nessa questão, as condições de entrada são fixas (ou seja, a pressão, temperatura e velocidade de entrada não mudam). No entanto, as condições de saída do ar variam. Sua temperatura de saída T 2 varia de 600   K até 5000   K . Essa variação em T 2 causa uma variação na entropia de saída s 2 .

O problema quer que a gente calcule o quanto a entropia variou desde a entrada s 1 até a saída s 2 para várias temperaturas de saída T 2 diferentes. Em outras palavras, o problema quer saber variação de entropia s 2 - s 1 para vários valores de T 2 . Além disso, ele quer que a gente desenhe um gráfico de T 2 versus s 2 - s 1 , mostrando os resultados. Esse gráfico é a linha de Rayleigh.

A figura abaixo mostra os dados que temos e a informação que a questão pede.

P 1 , T 1 e V 1 são a pressão, a temperatura e a velocidade do ar respectivamente.

O ar pode ser considerado um gás ideal com calor específico c p constante c p = 1005   J / k g . Por isso, podemos calcular s 2 - s 1 através da fórmula de variação de entropia para um gás ideal com c p constante que se encontra abaixo.

s 2 - s 1 = c p ⋅ ln ⁡ T 2 T 1 - R ⋅ ln ⁡ P 2 P 1

R é a constante de gás do ar e vale 287   J / k g K . P 2 é a pressão de saída do ar.

No próximo passo vamos aprender como usar essa fórmula!

Passo 2

Nesse passo, vamos aprender a usar a fórmula de variação de entropia s 2 - s 1 para gases ideais. Para usar essa fórmula, precisamos conhecer todos os termos do lado direito da questão. No entanto, não sabemos quanto vale a pressão de saída do ar P 2 . Para calcular esse valor, usamos uma equação que relaciona a pressão P 1 que temos com a pressão P 2 que não temos.

P 2 P 1 = 1 + k M a 1 2 1 + k M a 2 2

onde M a 1 é o número de Mach do ar na entrada, M a 2 é o número de Mach do ar na saída e k é uma constante que vale 1,4 para o ar.

Com essa fórmula, aprendemos a calcular a razão P 2 P 1 que aparece na equação de s 2 - s 1 através de dois termos que ainda não conhecemos, mas que sabemos calcular: M a 1 e M a 2 .

M a 1 pode ser encontrado, juntando duas equações: equação número de Mach abaixo

M a 1 = V 1 c 1

com a equação da velocidade do som de gases ideais abaixo.

c 1 = k R T 1       ⟹       c 1 = 1,4 ⋅ 287 ⋅ 600       ⟹       c 1 = 491,00   m / s

onde c 1 é a velocidade do som na entrada.

Substituindo c 1 na equação de M a 1 :

M a 1 = V 1 c 1       ⟹       M a 1 = 70 491,00       ⟹       M a 1 = 0,1426

O número de Mach de entrada M a 1 tem um único valor M a 1 = 0,1426 , porque as condições de entrada do ar são constantes. No entanto, como as condições de saída do ar variam, o número de Mach de saída M a 2 terá um valor para cada valor de T 2 .

Esses valores de M a 2 podem ser calculados, resolvendo a equação de T 2 T 1 abaixo.

T 2 T 1 = M a 2 ⋅ 1 + k ⋅ M a 1 2 M a 1 ⋅ 1 + k ⋅ M a 2 2 2

Aplicando a raiz quadrada nos dois lados da equação e reorganizando a fórmula, achamos a equação de segundo grau abaixo (polinômio de segundo grau, sendo M a 2 a variável independente).

T 2 T 1 = M a 2 ⋅ 1 + k ⋅ M a 1 2 M a 1 ⋅ 1 + k ⋅ M a 2 2

T 2 T 1 = M a 2 ⋅ 1 + k ⋅ M a 1 2 M a 1 + k ⋅ M a 1 ⋅ M a 2 2

T 2 T 1 ⋅ M a 1 + T 2 T 1 ⋅ k ⋅ M a 1 ⋅ M a 2 2 = 1 + k ⋅ M a 1 2 ⋅ M a 2

T 2 T 1 ⋅ M a 1 - 1 + k ⋅ M a 1 2 ⋅ M a 2 + T 2 T 1 ⋅ k ⋅ M a 1 ⋅ M a 2 2 = 0

Para ficar mais claro que a equação abaixo é uma equação de segundo grau, podemos substituir M a 2 por x e reconhecer os coeficientes a , b e c do polinômio.

T 2 T 1 ⋅ M a 1 ⏞ c - 1 + k ⋅ M a 1 2 ⏞ b ⋅ M a 2 ⏞ x + T 2 T 1 ⋅ k ⋅ M a 1 ⏞ a ⋅ M a 2 2 ⏞ x 2 = 0

c + b ⋅ x + a ⋅ x 2 = 0

A equação acima quer dizer que M a 2 é uma das raízes da equação de segundo grau acima. Ela é a raiz real e positiva M a 2 > 0 .

Isso quer dizer que, para achar M a 2 , devemos aplicar a fórmula de Bhaskara (aquela que você falou que nunca usaria pra nada na sua vida, se lembra?).

x = - b ± b 2 - 4 ⋅ a ⋅ c 2 ⋅ a

M a 2 = - - 1 + k ⋅ M a 1 2 ± - 1 + k ⋅ M a 1 2 2 - 4 ⋅ T 2 T 1 ⋅ k ⋅ M a 1 ⋅ T 2 T 1 ⋅ M a 1 2 ⋅ T 2 T 1 ⋅ k ⋅ M a 1

Note que, a partir da equação acima, vamos encontrar uma raiz real, maior ou igual a zero e menor ou igual a 1 (que é o valor de M a 2 ) para cada valor de T 2 entre 600   K e 5000   K . A questão pede para a gente variar T 2 de 200   K em 200   K . Ou seja, calcularemos primeiro o valor de M a 2 para T 2 = 600   K , depois para T 2 = 800   K e assim por diante até chegar no último valor para T 2 = 5000   K .

Por fim, utilizaremos cada valor de M a 2 para calcular vários valores de P 2 P 1 e substituiremos os P 2 / P 1 encontrados na fórmula de s 2 - s 1 . Esses valores finais de s 2 - s 1 formarão a linha de Rayleigh!

No próximo passo aprenderemos a fazer esses cálculos repetidos de uma forma mais rápida!

Passo 3

No passo anterior nós vimos a quantidade enorme de cálculos repetidos que precisamos fazer para gerar o gráfico de T 2 versus s 2 - s 1 . Como podemos fazer isso de uma forma mais rápida?

Programando um algoritmo para fazer as contas automaticamente para a gente!

Abaixo, nós vemos um algoritmo do MATLAB feito para realizar essas contas!

No próximo passo veremos os resultados.

Passo 4

Nesse passo, será mostrado o gráfico T-s ( T 2 versus s 2 - s 1 ) gerado pelo algoritmo do MATLAB e a tabela gerada por esse algoritmo também.

Segue abaixo o gráfico, mostrando o aumento da variação de entropia s 2 - s 1 com o aumento de T 2 .

A tabela também mostra esse aumento de s 2 - s 1 com a temperatura de saída T 2 .

Resposta

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