Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 16
Equações algébricas como a relação de Bernoulli, Equação (1) do Exemplo 1.3, são dimensionalmente consistentes, mas e as equações diferenciais? Considere, por exemplo, a equação da quantidade de movimento em para a camada-limite, deduzida pela primeira vez por Ludwig Prandtl em 1904:
na qual é a tensão de cisalhamento da camada-limite e é a componente da gravidade na direção . Essa equação é dimensionalmente consistente? Você pode tirar uma conclusão geral?
Passo 1
Bom, vamos pegar cada termo do lado esquerdo e do lado direito para sabermos qual é a dimensão deles, e depois comparamos para saber se a igualdade é válida para as dimensões, se for, a equação é dimensionalmente consistente.
Sendo que representa pressão, e v, velocidade e tensão de cisalhamento.
Passo 2
O primeiro termo do lado esquerdo é:
Vamos olhar a dimensão de cada termo:
Lembrando que o termo que está com derivada parcial tem dimensão como se fosse uma razão entre as grandezas sem o operador de derivada parcial, tipo assim:
Agora simplificamos algumas coisas:
Passo 3
Repetimos o mesmo processo para o segundo termo do lado esquerdo:
Depois para o primeiro termo do lado direito:
E para o segundo termo:
Passo 4
Como todos os termos, tanto do lado direito quanto esquerdo, têm dimensão:
E as somas não mudam a dimensão de cada termo, então a equação é homogênea.