Equações algébricas como a relação de Bernoulli, Equação (1) do Exemplo 1.3, são dimensionalmente consistentes, mas e as equações diferenciais? Considere, por exemplo, a equação da quantidade de movimento em x para a camada-limite, deduzida pela primeira vez por Ludwig Prandtl em 1904:

ρ u ∂ u ∂ x + ρ ν ∂ u ∂ y = - ∂ p ∂ x + ρ g x + ∂ τ ∂ y

na qual τ é a tensão de cisalhamento da camada-limite e g x é a componente da gravidade na direção x . Essa equação é dimensionalmente consistente? Você pode tirar uma conclusão geral?

Passo 1

Bom, vamos pegar cada termo do lado esquerdo e do lado direito para sabermos qual é a dimensão deles, e depois comparamos para saber se a igualdade é válida para as dimensões, se for, a equação é dimensionalmente consistente.

Sendo que p representa pressão, u e ν v, velocidade e τ tensão de cisalhamento.

Passo 2

O primeiro termo do lado esquerdo é:

ρ u ∂ u ∂ x

Vamos olhar a dimensão de cada termo:

ρ u ∂ u ∂ x = M / L 3 L / T L / T L

Lembrando que o termo que está com derivada parcial tem dimensão como se fosse uma razão entre as grandezas sem o operador de derivada parcial, tipo assim:

∂ u ∂ x = u x = L / T L

Agora simplificamos algumas coisas:

ρ u ∂ u ∂ x = M / L 2 T 2 = M L 2   T 2

Passo 3

Repetimos o mesmo processo para o segundo termo do lado esquerdo:

ρ ν ∂ u ∂ y

ρ ν ∂ u ∂ y = M / L 3 L / T L / T L = M L 2   T 2

Depois para o primeiro termo do lado direito:

∂ p ∂ x = M L T 2 L = M L 2 T 2

E para o segundo termo:

ρ g x = M L 3 L T 2 = M L 2 T 2

∂ τ ∂ y = M L T 2 L = M L 2 T 2

Passo 4

Como todos os termos, tanto do lado direito quanto esquerdo, têm dimensão:

M L 2 T 2

E as somas não mudam a dimensão de cada termo, então a equação é homogênea.

Resposta

H o m o g ê n e a

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