Exercícios de Equações Adimensionalizadas - Lista de Exercícios Resolvida

A Equação de Torricelli é dada por:

Encontre a sua forma adimensional.

Uma equação diferencial para modelar a dinâmica da reação química em um reator plug-flow, é a seguinte:

na qual é a velocidade, é um coeficiente de difusão, é a taxa de reação, é a distância ao longo do reator e é a concentração (adimensional) de um dado componente químico no reator. Determine as dimensões apropriadas de e . Usando um comprimento de escala característico e uma velocidade média como parâmetros, reescreva essa equação na forma adimensional e comente sobre quaisquer grupos pi que aparecerem.

Agora que já vimos como adimensionalizar equações usando o Teorema Pi, vamos adimensionalizar a primeira equação básica de Mecânica dos Fluidos: a Equação da Continuidade:

Sendo um escoamento com velocidade no infinito ao redor de um cilindro de diâmetro .

A equação diferencial para vibrações de pequena amplitude de uma viga simples é dada por

em que

massa específica do material da viga

área da seção transversal

momento de inércia de área

módulo de Young

Use apenas as grandezas e para adimensionalizar e e reescreva a equação diferencial na forma adimensional. Alguns parâmetros permanecem? Eles poderiam ser eliminados por manipulações adicionais de variáveis?

Adimensionalize a equação da energia e sua condição de contorno definindo , em que é a temperatura de entrada, considerada constante. Use outras variáveis adimensionais, se necessário conforme indicado abaixo. Isole todos os parâmetros adimensionais que você encontrar e verifique se já são conhecidos.

Equação da Energia

Onde é coeficiente de condutividade térmica e é a função de dissipação viscosa

Condição de contorno

Variáveis adimensionais

A equação diferencial da energia para escoamento bidimensional incompressível através de um meio poroso do “tipo Darcy” é aproximadamente

em que é a permeabilidade do meio poroso. Todos os outros símbolos têm seus significados usuais. Quais são as dimensões apropriadas para ? Adimensionalize essa equação, usando como constantes de escala, e discuta quaisquer parâmetros adimensionais que aparecerem.

A equação diferencial para o escoamento não viscoso compressível de um gás no plano xy é

na qual é o potencial de velocidade e é a velocidade (variável) do som do gás. Adimensionalize essa relação, usando um comprimento de referência L e a velocidade do som de entrada como parâmetros para definir variáveis adimensionais.

As equações de Navier-Stokes podem ser escritas na forma vetorial como:

Adimensionalize a parcela transversal da equação para um escoamento bidimensional:

Sendo que o escoamento tem como referência um comprimento , uma velocidade de entrada e uma massa específica .

Quais são os fatores adimensionais que apareceram?

Dado o campo de velocidades de um escoamento:

Onde a = 1 m-2s-2, b = -1/3 m-2s-2, e c = 1 m-3s-1, com x, y e z dados em metros e t em segundos. Pede-se:

1. No ponto P1(x1, y1, z1) = P1(1m, 2m, 3m) e instante o escoamento é permanente? Justifique.

Dado o campo de velocidades de um escoamento:

Onde a = 1 m-2s-2, b = -1/3 m-2s-2, e c = 1 m-3s-1, com x, y e z dados em metros e t em segundos. Pede-se:

(c) Qual o vetor aceleração no ponto P1 e t1?

Dado o campo de velocidades de um escoamento:

Onde a = 1 m-2s-2, b = -1/3 m-2s-2, e c = 1 m-3s-1, com x, y e z dados em metros e t em segundos. Pede-se:

(d) Obter três paramétricas da trajetória que passam por P2 (x2, y2, z2) = e instante

Dado o campo de velocidades de um escoamento:

Onde a = 1 m-2s-2, b = -1/3 m-2s-2, e c = 1 m-3s-1, com x, y e z dados em metros e t em segundos. Pede-se:

(c) Qual o vetor aceleração no ponto P1 e t1?

Dado o campo de velocidades de um escoamento:

Onde a = 1 m-2s-2, b = -1/3 m-2s-2, e c = 1 m-3s-1, com x, y e z dados em metros e t em segundos. Pede-se:

(b) Qual o vetor velocidade no ponto P1 e t1?