Enunciado

Para o escoamento isentrópico de ar, em uma seção de um canal onde A = 0,25   m 2 , ρ = 15,0   k P a   ( a b s ) , T = 10 ° C e V = 590   m / s . Determine o número de Mach e a vazão mássica. Em uma seção a jusante, a temperatura é 137°C e o número de Mach é 0,75. Determine a área transversal e a pressão nessa seção. Esboce a forma do canal.

Passo 1

Calculando M 1 :

M 1 = V 1 c 1

Então,

M 1 = V 1 k R T 1

Sendo:

V 1 = 590   m / s ;

T 1 = 10 ° C = 283   K ;

k = 1,4 ;

R = 287   N ⋅ m / k g ⋅ K ;

M 1 = 590 1,4 ⋅ 287 ⋅ 283

M 1 = 1,75

Passo 2

Pela equação de gás ideal:

p 1 = ρ 1 ⋅ R ⋅ T 1

Sendo:

p 1 = 15   k P a ;

T 1 = 10 ° C = 283   K ;

R = 287   N ⋅ m / k g ⋅ K ;

Então:

15 × 10 3 = ρ 1 ⋅ 287 ⋅ 283

ρ 1 = 0,184 k g m 3

Passo 3

Calculando a vazão mássica na seção 1:

m ˙ = ρ 1 ⋅ A 1 ⋅ V 1

Sendo:

ρ 1 = 0,184 k g m 3 ;

A 1 = 0,25   m 2 ;

V 1 = 590   m / s .

m ˙ = 0,184 ⋅ 0,25 ⋅ 590  

m ˙ = 27,14   k g / s

Passo 4

Temos que:

p 0 p 1 = 1 + k - 1 2 M 1 2 k k - 1

p 0 p 2 = 1 + k - 1 2 M 2 2 k k - 1

Dividindo as equações, temos que:

p 2 p 1 = 1 + k - 1 2 M 1 2 1 + k - 1 2 M 2 2 k k - 1

Temos:

p 1 = 15   k P a ;

k = 1,4 ;

M 1 = 1,75 ;

M 2 = 0,75 ;

p 2 15 = 1 + 1,4 - 1 2 ( 1,75 ) 2 1 + 1,4 - 1 2 ( 0,75 ) 2 1,4 1,4 - 1

p 2 = 15 ⋅ 1,6125 1,1125 3,5

p 2 = 54,99   k P a

Passo 5

Para encontrar a densidade na seção 2:

ρ 2 = p 2 R T 2

Temos:

p 2 = 54,99   k P a ;

R = 287   N ⋅ m / k g ⋅ K ;

T 2 = 400 ° C .

ρ 2 = 54,99 × 10 3 287 ⋅ 400

ρ 2 = 0,478   k g / m 3

Passo 6

Para encontrar a velocidade no estado 2:

V 2 = M 2 k R T 2

V 2 = 0,75 ⋅ 1,4 ⋅ 287 ⋅ 400

V 2 = 300,67   m / s

Como temos a vazão mássica constante:

ρ 1 ⋅ A 1 ⋅ V 1 = ρ 2 ⋅ A 2 ⋅ V 2

0,184 ⋅ 0,25 ⋅ 590 = 0,478 ⋅ A 2 ⋅ 300,67

A 2 = 0,1875   m 2

Passo 7

A forma do canal se mostra como na figura abaixo:

Resposta

M 1 = 1,75

m ˙ = 27,14   k g / s

p 2 = 59,4   k P a

A 2 = 0,1875   m 2

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