Enunciado

Um foguete experimental de propulsão a jato, de massa 25 kg, deve ser lançado no espaço por um lançador espacial. A temperatura do ar no tanque do foguete é 125ºC. Uma seção convergente com área de saída de 25 mm² é instalada no tanque, através do qual o ar é descarregado no espaço a uma taxa de 0,05 kg/s. Quais são a pressão no tanque e a pressão, a temperatura e a velocidade do ar na saída, quando o foguete é primeiramente lançado? Qual é a aceleração inicial do foguete?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem?

Do problema, sabemos que:

m = 25   k g     T 0 = 398   K   A t = 25   m m 2   |     m ˙ = 0,05 k g s |        

Obs: Propriedades do ar: R = 286,9   J K g K   ; k = 1,4   .

O P b = 0 . Portanto, o fluxo é bloqueado. Assim P e = P * e T e = T *

Passo 2

Então, podemos utilizar a equação 12.22b do livro texto:

T 0 T * = k + 1 2

Substituindo os valores, temos:

T * = T 0 k + 1 2 = 398 * 2 1,4 + 1 = 332   K

Assim, T * = T e = 332   K

Então a velocidade de saída do ar do bocal é (admitindo M=1):

V e = 1 * 1,4 * 286,9 * 332     → V e = 3 65   m s

O ρ e pode ser encontrado pela relação:

m ˙ = ρ e A e V e

Rearranjando termos e substituindo, temos:

ρ e = m ˙ A e V e = 0,05 25 * 10 - 6 * 3 65 = 5 , 48 k g m 3    

Passo 3

Sabemos que para um gás ideal, podemos usar a relação:

P e = ρ e R T e = 5,48 * 286,9 * 332 = 521   k P a

E, como já foi dito, P e = P * , assim podemos utilizar a relação 12.22a do livro:

P 0 P * = k + 1 2 k k - 1

Substituindo valores:

P 0 = P * * k + 1 2 k k - 1 = 521 * 10 3 * 1,4 + 1 2 1,4 1,4 - 1 = 987   k P a

Como o bico está entupido, podemos usar a equação de fluxo entupido para checar o resultado:

  m ˙ e n t =   A e P 0 k R T 0 2 k + 1 k + 1 2 k - 1           → m ˙ e n t = 0,05   k g s  

Portanto, podemos validar os resultados.

E a aceleração inicial pode ser encontrada por:

F ⃑ - ∫ a r f → ρ   d ∀   = ∂ ∂ t ∫ V x y z → c v ρ d ∀ + ∫ V x y z → c s ρ   V x y z → ∙ d A →

Simplificando:

P e A t - m a x = m ˙ V

Então, rearranjando termos e substituindo os valores:

a x = m ˙ V + P e A t m = 0,05 * 365 + 5,21 * 10 3 * 25 * 10 - 6 25 = 1,25 m s ²

Resposta

Portanto:

T e = 332   K

V e = 365   m s

P e = 521   k P a

P 0 = 987   k P a

a x = 1,25 m s ²

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