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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 11

Em velocidades relativamente muito altas, o arrasto sobre um objeto é independente da viscosidade do fluido. Desse modo, a força de arrasto aerodinâmico, F , sobre um automóvel é uma função somente da velocidade, V , da massa específica do ar, ρ , e do tamanho do veículo, caracterizado pela sua área frontal, A . Use a análise dimensional para determinar como a força de arrasto F depende da velocidade V .

Passo 1

O enunciado nos pede para determinar como a força de atrito depende da velocidade, fazendo a análise dimensional...Vamos lá então!

Vamos utilizar o Teorema Pi de Buckingham, que nos diz que podemos transformar uma equação de n parâmetros em uma relação correspondente entre n - m parâmetros adimensionais Π .

Começando separando os parâmetros, temos n = 4 :

F V ρ A

Passo 2

Temos uma quantidade mínima de dimensões que podemos escrever esses parâmetros separados no passo anterior: Massa M , comprimento L e tempo t . Colocando as dimensões correspondentes, vamos ter:

F V ρ A

M L t 2 L t M L 3 L 2

Nosso número de dimensões é r = 3 dimensões independentes.

Passo 3

Olhando para nosso quadrinho com as dimensões, vemos que nossos parâmetros repetidos de dimensões é m = 3 . Então já sabemos que r = m . Belezinha!

Agora vamos calcular a quantidade de grupos adimensionais:

n - m = 1

Agora vamos a montagem do nosso termo admissional:

Π 1 = F * V a * ρ b * A c

M L t 2 * L t a * M L 3 b * L 2 c = M 0 * L 0 * t 0

Agora analisando os expoentes a , b e c teremos:

M :   1 + b = 0

L : 1 + a - 3 b + 2 c = 0

t : - 2 - a = 0

Resolvendo esse sisteminha fofo, teremos:

a = - 2

b = - 1

c = - 2

Passo 4

Show! Nossa equação então ficará:

Π 1 = F * V a * ρ b * A c

Π 1 = F * V - 2 * ρ - 1 * A - 2

Π 1 = F * 1 V 2 * 1 ρ * 1 A 2

Π 1 = F V 2 ρ A 2

Passo 5

Vemos assim a relação da força de arrasto, F , com a velocidade, V ...Ou seja, a força é proporcional ao quadrado da velocidade!

Conseguimos!!

Resposta

Π 1 = F V 2 ρ A 2

A força de arrasto é proporcional ao quadrado da velocidade.

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