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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 08

Um escoamento em regime transiente, bidimensional, compressível e não viscoso pode ser descrito pela equação

∂ 2 ψ ∂ t 2 + ∂ u 2 + v 2 ∂ t + u 2 - c 2 ∂ 2 ψ ∂ x 2 + v 2 - c 2 ∂ 2 ψ ∂ y 2 + 2 u v ∂ 2 ψ ∂ x ∂ y = 0

em que ψ é a função de corrente, u e v são as componentes da velocidade em x e em y , respectivamente, c é a velocidade do som no local e t é o tempo. Usando L como um comprimento característico e c 0 (a velocidade do som no ponto de estagnação) para adimensionalizar esta equação, obtenha os grupos adimensionais que caracterizam a equação.

Passo 1

Partiu adimensionalizar essa equação linda?

Vamos começar colocando tudo que for adimensional com um *pra gente não se perder, beleza?

v * = v c 0 u * = u c 0 x * = x L y * = y L c * = c c 0

Temos que analisar com calma o t e o ψ ...Bom, sabemos as unidades de cada um, então agora precisamos colocar em função de L e de c 0 , conseguimos tirar de letra!

t * = t c 0 L ψ * = ψ L c 0

Passo 2

Agora substituindo as equações do passo 1 na equação do enunciado:

∂ 2 ψ * L c 0 ∂ t * L / c 0 2 + ∂ u * c 0 2 + v * c 0 2 ∂ t * L / c 0 + u * c 0 2 - c * c 0 2 ∂ 2 ψ * L c 0 ∂ x * L 2 + v * c 0 2 - c * c 0 2 ∂ 2 ψ * L c 0 ∂ y * L 2 + 2 u * c 0 v * c 0 ∂ 2 ψ * L c 0 ∂ x * L ∂ y * L = 0

c 0 3 L ∂ 2 ψ * ∂ t * 2 + c 0 3 L ∂ u * 2 + v * 2 ∂ t * + c 0 3 L u * 2 - c * 2 ∂ 2 ψ * ∂ x * 2 + c 0 3 L v * 2 - c * 2 ∂ 2 ψ * ∂ y * 2 + c 0 3 L 2 u * v * ∂ 2 ψ * ∂ x * ∂ y * = 0

∂ 2 ψ * ∂ t * 2 + ∂ u * 2 + v * 2 ∂ t * + u * 2 - c * 2 ∂ 2 ψ * ∂ x * 2 + v * 2 - c * 2 ∂ 2 ψ * ∂ y * 2 + 2 u * v * ∂ 2 ψ * ∂ x * ∂ y * = 0

Ops! Chegamos numa conclusão inusitada!

Nossa equação não precisa de termo para ser adimensional!

Olha só como a gente arrasa!

Resposta

Não apresenta termo para adimensionalizar.

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