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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 35

Gotículas são formadas quando um jato de líquido é borrifado por spray em processos de injeção de combustível. Considere que o diâmetro da gotícula resultante, d, dependa da massa específica, da viscosidade e da tensão superficial do líquido, bem como da velocidade, V, e do diâmetro, D, do jato. Quantas razões adimensionais são necessárias para caracterizar este processo? Determine estas razões.

Passo 1

O problema fala da formação de gotículas e de como o diâmetro delas d , depende de outros fatores, que são:

d = f ( ρ , μ , σ , V , D )

Isso da pra a gente:

n = 6

O problema quer saber quantas razões adimesionais são necessários para caracterizar esse processo e a gente tem também que determinar essas razões!

Então bora colocar a mão na massa!

Passo 2

Agora a gente vai listar as dimensões primárias desses parâmetros! A gente vai fazer isso usando M L t se você quiser usar o F L t e comparar a resposta final, tudo bem!

d = L 1 ; ρ = M 1 L - 3 ; μ = M 1 L - 1 t - 1 ; σ = M 1 t - 2 ;

V = L 1 t - 1 ; D = { L 1 }

A gente usou as dimensões M ,   L e t , então:

r = 3

Passo 3

Como vimos que r = 3 temos que selecionar 3 parâmetros dentro dos nossos parâmetros relevantes, que vão ser os parâmetros repetidos.

Relembando nossos parâmetros relevantes:

d = f ( ρ , μ , σ , V , D )

d   é o parâmetro dependente, então a gente já exclui ele!

Entre os parâmetros relevantes que sobram, é interessante pegar os mais simples, dai já podemos tirar D , V e ρ .

Ficamos com:

D , V   e   ρ

Passo 4

A gente tem:

m = r = 3

E:

n = 6

Então ficamos com:

n - m = 6 - 3 = 3

Logo vamos achar três grupos π !

Passo 5

Agora sim, vamos encontrar o nosso primeiro grupo π !!

Começando com o π 1 , onde vamos usar o   d :

π 1 = 1 = { ( d ) × D a × V b × ρ c }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π 1 = M 0 L 0 t 0 = { ( L 1 ) × L 1   a × L 1 t - 1 b × M 1 L - 3 c }

Equacionando:

Massa:

M 0 = M c

0 = c

Comprimento:

L 0 = L 1 × L a × L b × L - 3 c

0 = 1 + a + b - 3 c

0 = 1 + a + b

Tempo:

t 0 = t - b

b = 0

Logo:

0 = 1 + a + b

0 = 1 + a

a = - 1

Substituindo a , b e c , temos:

π 1 = { ( d ) × D - 1 × V 0 × ρ 0 }

Organizando:

π 1 = d D

Passo 6

Agora vamos de π 2 , dessa vez vamos descobrir a relação de μ com as variáveis repetidas:

π 2 = 1 = { ( μ ) × D d × V e × ρ f }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π 1 = M 0 L 0 t 0 = { ( M 1 L - 1 t - 1 ) × L 1   d × L 1 t - 1 e × M 1 L - 3 f }

Equacionando:

Massa:

M 0 = M 1 + M f

0 = 1 + f

f = - 1

Comprimento:

L 0 = L - 1 × L d × L e × L - 3 f

0 = - 1 + d + e - 3 f

0 = - 1 + d + e + 3

d + e = - 2

Tempo:

t 0 = t - 1 × t - e

0 = - 1 - e

e = - 1

Logo:

d + e = - 2

d = - 2 + 1 = - 1

Substituindo :

π 2 = { ( μ ) × D - 1 × V - 1 × ρ - 1 }

Organizando:

π 2 = μ D V ρ

Passo 7

E finalmente, o último π que é o π 3 com a relação de σ com os parâmetros repetidos:

π 2 = 1 = { ( σ ) × D g × V h × ρ l }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π 1 = M 0 L 0 t 0 = { ( M 1 t - 2 ) × L 1   g × L 1 t - 1 h × M 1 L - 3 l }

Equacionando:

Massa:

M 0 = M 1 + M l

0 = 1 + l

l = - 1

Comprimento:

L 0 = L g × L h × L - 3 l

0 = g + h - 3 l

0 = g + h + 3

g + h = - 3

Tempo:

t 0 = t - 2 × t - h

0 = - 2 - h

h = - 2

Logo:

g + h = - 3

g = - 3 + 2 = - 1

Substituindo :

π 3 = { ( σ ) × D - 1 × V - 2 × ρ - 1 }

Organizando:

π 3 = σ D V 2 ρ

Uhuuuuul!!!

Resposta

3 razões adimensionais caracterizam o processo de pulverização da água, eles são:

π 1 = d D

π 2 = μ D V ρ

π 3 = σ D V 2 ρ

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