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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 6º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 10

Um laboratório de testes é contratado para medir a condutividade térmica de vários líquidos como uma função da temperatura do líquido. Tipicamente, o laboratório iria medir a condutividade térmica e a sua dependência com a temperatura realizando muitos experimentos, que consomem tempo considerável, em várias temperaturas de operação. Um novo projeto experimental é proposto, no qual a dependência com a temperatura pode ser determinada em um experimento. O equipamento proposto é constituído de múltiplas camadas, com cada camada formada por uma folha quadrada de material com baixa condutividade térmica, com espessura t, entre duas placas de aço inoxidável, cada uma com t a ç o = 1 m m   e   k a ç o = 15 W / ( m k ) . Por sua vez, o conjunto resultante separa N=5 camadas de líquido de espessura t l i q = 2 m m . A estrutura completa é aquecida de cima para baixo para evitar convecção natural no líquido e resfriada na parte inferior por um líquido em escoamento. A temperatura de cada folha de aço inoxidável é medida com um termopar e todo o equipamento é envolto por um isolante. A faixa de temperaturas na qual a condutividade térmica de um determinado líquido deve ser medida é 300   K ≤ T ≤ 400   K . Para determinar a dependência com a temperatura térmica do líquido, a diferença de temperaturas em cada camada de líquido deve ser mantida em, no máximo, ∆ T = 2 ° C . A condutividade térmica nominal do líquido é k n o m = 0,8   W / ( m K ) .

  1. Considere que o material de baixa condutividade térmica seja Bakelite. Determine a altura total, H, do equipamento experimental.
  2. Considere a substituição do Bakelite por um aerogel caracterizado por k 0 = 0,0065   W / ( m K ) . Qual é a altura total do equipamento?
  3. Para minimizar as perdas de calor pelas laterais do equipamento, a área do aquecedor ( A a q ) é feita 10 vezes maior do que a área das laterais ( A l a t ) do equipamento. Compare a área do aquecedor e a potência elétrica necessárias em equipamentos construídos usando Bakelite e aerogel ou material de baixa condutividade térmica.

Passo 1

Falaaa meu povo, tudo bem com vocês? Espero que simmm! Vamos comigo desvendar essa questão!

Inicialmente vamos definir o valor de algumas variáveis para facilitar quando formos pros itens propriamente ditos.

Começando pelo fluxo de calor pelo dispositivo, podemos encontrar o valor do mesmo usando a equação 3.5 do livro, que é a seguinte:

q n = k l ∆ T l t l

Substituindo os valores que temos, teremos que:

q n = 0,8 2 2 * 10 - 3

Portanto, temos que:

q n = 800   W / m 2

Já para cada folha de aço inoxidável, temos que:

∆ T s s = q n t s s k s s

Substituindo os valores, ficamos com:

∆ T s s = 800 * 1 * 10 - 3 15

Ou seja:

∆ T s s = 0.053 ° C

Por sua vez, a diferença de temperatura do topo para a base será:

∆ T k m = 1 N - 1 ∆ T t o t - ∆ T s s * N * 2 - ∆ T l * N

Substituindo os valores, temos que:

∆ T k m = 1 4 100 - 0,053 * 10 * 2 - 2 * 5 Ou seja:

∆ T k m = 22,4 ° C

Passo 2

  1. Para o bakelite, temos que:

    2. t k m = k k m ∆ k m q n

    Substituindo os valores:

    t k m = 1,4 * 22,4 800

    Ou seja:

    t k m = 39,2 * 10 - 3   m

    Assim, podemos calcular a altura total, através da seguinte equação:

    H = 2 N t s s + N t l + N - 1 t k m

    Substituindo os valores, temos que:

    H = 2 5 * 1 * 10 - 3 + 5 * 2 * 10 - 3 + 5 - 1 * 39,2 * 10 - 3

    Ou seja, já fazendo a mudança de metro para milímetro (multiplicando por 1000):

    H = 177   m m

    Passo 3

  2. Para o aerogel, temos que:

    3. t k m = k k m ∆ k m q n

    Substituindo os valores:

    t k m = 0,0065 * 22,4 800

    Ou seja:

    t k m = 182 * 10 - 6   m

    Assim, podemos calcular a altura total, através da seguinte equação:

    H = 2 N t s s + N t l + N - 1 t k m

    Substituindo os valores, temos que:

    H = 2 5 * 1 * 10 - 3 + 5 * 2 * 10 - 3 + 5 - 1 * 182 * 10 - 6

    Ou seja, já fazendo a mudança de metro para milímetro (multiplicando por 1000):

    H = 20,7   m m

    Passo 4

  3. Para a área lateral, temos que A s = 4 H L . Já para a área do aquecedor, temos A h = L 2 . Logo, a razão entre essas áreas é:

10 = L 2 4 H L

Disso tiramos, desenvolvendo matematicamente, que:

L = 40 H

  1. Então para bakelite, temos que:

    2. L b = 40 * 177

    Logo, temos L b = 7,1   m .

    A taxa de calor, ou potência, é dada por q = q n A h . Substituindo os valores temos:

    q b = 800 * 7,1 2

    Ou seja, temos q b = 40,3 * 10 3 W

  2. Para aerogel, temos:

L a = 40 * 20,7

Logo, temos L a = 0,83   m .

A taxa de calor, ou potência, é dada por q = q n A h . Substituindo os valores temos:

q a = 800 * 0,83 2

Ou seja, temos q a = 550   W

Nos vemos na próxima questão, galerinha!

Resposta

a) H = 177   m m

b) H = 20,7   m m

c) q b = 40,3 * 10 3 W ; q a = 550   W .

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