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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Frank White - Mecânica dos Fluidos- Ed: 6º - Capítulo 2.Problemas Abrangentes - Ex. 6

Em líquidos “macios” (módulo de elasticidade volumétrica β baixo), pode ser necessário levar em conta a compressibilidade do líquido em cálculos hidrostáticos. Uma relação aproximada da massa específica seria

d p ≈ β ρ d ρ = a 2 d ρ       o u       p ≈ p 0 + a 2 ρ - ρ 0

em que a é a velocidade do som e ( p 0 ,   r 0 ) são as condições na superfície do líquido z = 0 . Use essa aproximação para mostrar que a variação da massa específica com a profundidade em um líquido “macio” é ρ = ρ 0 e - g z a 2 , em que g é a aceleração da gravidade e   z é positiva para cima. Depois considere uma parede vertical de largura b , estendendo-se da superfície ( z = 0 ) até a profundidade z = - h . Encontre uma expressão analítica para a força hidrostática F sobre essa parede e compare-a com o resultado incompressível F = ρ 0 g h 2 b / 2 . O centro de pressão estaria abaixo da posição incompressível z = - 2 h / 3 ?

Passo 1

E aí, tudo bem? Bora resolver mais essa comigo!

Vamos resolver de maneira semelhante a questão passada. Primeiro vamos usar p ρ na relação hidrostática.

d p = a 2 d ρ = - γ d z = - ρ g d z

a 2 d ρ = - ρ g d z

Separando as variáveis e após isso integrando:

∫ ρ 0 ρ d ρ ρ = - ∫ 0 z g d z a 2

ln ⁡ ρ - ρ 0 = - g z a 2

ln ⁡ ρ ρ 0 = - g z a 2

Vamos aplicar a exponencial e isolar ρ !

ρ = ρ 0 ⋅ e - g z a 2

Passo 2

Lembra da relação que a questão deu? Essa aqui!

p ≈ p 0 + a 2 ρ - ρ 0

Vamos substituir ρ que encontramos na formula, assim:

  p ≈ p 0 + a 2 ρ 0 ⋅ e - g z a 2 - ρ 0

  p ≈ p 0 + a 2 ρ 0 e - g z a 2 - 1

Como p ( z ) aumenta mais do que linearmente com z , o centro de pressão sempre será u m   p o u c o   a b a i x o   d o   q u e   é   p r e v i s t o   p e l a   t e o r i a   l i n e a r !

Agora vamos integrar a nossa equação da pressão desprezando o termo p 0 para encontrarmos a força, assim!

F = - ∫ 0 - h p ⋅ b d z = - b ∫ 0 - h a 2 ρ 0 e - g z a 2 - 1 ⋅ d z

F = b a 2 ρ 0 ∫ - h 0 e - g z a 2 - 1 ⋅ d z

F = b a 2 ρ 0 - a 2 g + a 2 g e - g h a 2 - h

F = b a 2 ρ 0 a 2 g e - g h a 2 - 1 - h

Passo 3

Nossa a relação que nós encontramos para a força foi:

F = b a 2 ρ 0 a 2 g e g h a 2 - 1 - h

Mas a relação dada pelo livro foi:

F = ρ 0 g h 2 b 2

Existe uma diferença considerável, mas calma, essa diferença é relativa à “maciez” do fluído, veja bem. Se h ≪ a 2 g nossa formula vai se aproximar do que nosso problema propôs, quer um exemplo? Vamos lá:

Para os seguintes dados: a ≈ 1490 m s , h = 10   m , b = 1

F = 1 m ⋅ 1490 m s 2 ⋅ 99 8 k g m 3 ⋅ 1490 m s 2 9,81   m s e 9,81   m s ⋅ 10   m 1490 m s 2 - 1 - 10   m

F = 489.526   N

(essa conta é muito sensível a quantidade de casas decimais utilizadas caso queira refaze-la sugiro a calculadora do Windows).

Ou

F = 998 k g m 3 ⋅ 9,81   m s 10   m 2 ⋅ 1   m 2

F = 489.519   N

Calculando a margem de erro:

ϵ = 489.526 - 489.5 19 489.526 ⋅ 100 %

ϵ = 0,0014 %

Viu? Um erro praticamente desprezível! O que torna a aproximação válida para líquidos “duros”.

Isso é tudo pessoal, conseguimos mais uma! \o/

Resposta

F = b a 2 ρ 0 a 2 g e g h a 2 - 1 - h

Como p ( z ) aumenta mais do que linearmente com z , o centro de pressão sempre será u m   p o u c o   a b a i x o   d o   q u e   é   p r e v i s t o   p e l a   t e o r i a   l i n e a r !

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