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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Incropera - Fundamentos de Transferência de Calor e Massa- Ed: 7º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 29

Óleo de motor escoa a uma vazão de 1   k g / s em um tubo reto com diâmetro de 5   m m . O óleo tem uma temperatura na entrada de 45 ° C e deseja-se aquecê-lo até uma temperatura média na saída do tubo de 80 ° C . A superfície do tubo é mantida a 150 ° C . Determine o comprimento do tubo necessário para tal tarefa.

Passo 1

Temos óleo de motor escoando no interior de um duto de diâmetro D = 5 × 10 - 3   m , com vazão m ˙ = 1   k g / s . Sabendo que o óleo entra a T m ,   e n t = 45 ° C e sai a T m ,   s a i = 80 ° C e que o tubo tem temperatura constante T s = 150 ° C , precisamos encontrar qual deve ser o comprimento de tubo para garantir estas condições de processo.

Vamos começar verificando o regime de escoamento na entrada e na saída. Para isso, vamos precisar da viscosidade do óleo de motor nas temperaturas de 45 ° C e 80 ° C (tabela A-5 do apêndice A):

μ 45 ° C = 16,3 × 10 - 2   N s / m 2

μ 80 ° C = 3,25 × 10 - 2   N s / m 2

Os números de Reynolds podem ser determinados por:

R e D = 4 m ˙ π D μ

R e D , e n t = 4 × 1 π × 5 × 10 - 3 × 16,3 × 10 - 2 = 1562,3

R e D ,   s a i = 4 × 1 π × 5 × 10 - 3 × 3,25 × 10 - 2 = 7835,3

Então, podemos ver que o escoamento começa laminar e, ao longo do processo se torna turbulento. Para continuar vamos encontrar o ponto em que ocorre a transição. Na transição R e D = 2300 :

2300 = 4 m ˙ π D μ

μ = 4 × 1 π × 5 × 10 - 3 × 2300 = 0,1107   N s / m 2

Pela tabela de propriedades do óleo de motor (tabela A-5 do apêndice A) vemos que esta viscosidade é atingida na temperatura de T = 325   K = 52 ° C .

Passo 2

Para continuar, vamos agora avaliar cada tipo de escoamento de forma separada. Começando pela região laminar, nosso primeiro passo será obter as propriedades na temperatura média. A temperatura média será:

T m ,   l a m = T m ,   e n t + T m ,   t r a n s 2

T m ,   l a m = 45 + 52 2 = 48,5 ° C

Para esta temperatura:

μ = 0,1302   N s / m 2

P r = 1851

k = 0,143   W / m K

c p = 1999   J / k g K

Com estes dados, podemos recalcular o número de Reynolds:

R e D = 4 m ˙ π D μ

R e D = 4 × 1 π × 5 × 10 - 3 × 16,3 × 10 - 2 = 1562,3

Para um escoamento laminar em um duto cilíndrico:

N u - D = 3,66 + 0,0668 D L R e D P r 1 + 0,04 D L R e D P r 2 3

h - D k = 3,66 + 0,0668 D L R e D P r 1 + 0,04 D L R e D P r 2 3

Como podemos ver, h - é função de L . Então, por enquanto vamos deixar esta equação assim.

Considerando que só ocorre transferência de calor por convecção, temos que:

q = q c o n v

q = h - A s ∆ T m l

Lembrando que como a temperatura do óleo está variando durante o escoamento precisamos usar a média logarítmica das diferenças de temperatura ( ∆ T m l ).

Outra consideração que faremos é assumir que o processo ocorre sem perdas de energia. Ou seja, todo o calor transferido por convecção é direcionado para aumentar a temperatura do óleo. Então, para a região laminar teremos

q = m ˙ c p T m ,   t r a n s - T m ,   e n t

E

m ˙ c p T m ,   t r a n s - T m ,   e n t = h - A s ∆ T m l

m ˙ c p T m ,   t r a n s - T m ,   e n t = h - π D L ∆ T m l

Temos como incógnitas o comprimento e o coeficiente convectivo, que é função do comprimento. Então, o que teremos que fazer para resolver o exercício será estimar um valor para L e usá-lo para encontrar h - . Se estimarmos um valor que iguale os dois lados da equação, então este será o comprimento da tubulação em regime laminar. Tudo bem?

Passo 3

Vamos estimar L = 18   m . Então, o coeficiente convectivo será:

h - = k D 3,66 + 0,0668 D L R e D P r 1 + 0,04 D L R e D P r 2 3

h - = 0,143 5 × 10 - 3 × 3,66 + 0,0668 × 5 × 10 - 3 18 × 1562,3 × 1851 1 + 0,04 × 5 × 10 - 3 18 × 1562,3 × 1851 2 3

h - = 449   W / m 2 K

Substituindo na relação anterior:

m ˙ c p T m ,   t r a n s - T m ,   e n t = h - π D L T s - T m ,   e n t - T s - T m ,   t r a n s ln ⁡ T s - T m ,   e n t T s - T m ,   t r a n s

1 × 1999 × 52 - 45 = 449 × π × 5 × 10 - 3 × 18 × 150 - 45 - 150 - 52 ln ⁡ 150 - 45 150 - 52

13993   W ≈ 12881,45   W

Podemos ver que a diferença entre os dois lados da equação foi de cerca de 1000   W , o que pode ser considerada uma diferença razoável. Caso queiramos uma aproximação melhor poderíamos estimar um novo valor para L e assim obter um novo coeficiente convectivo.

Por ora, vamos assumir que L = 18   m é uma boa aproximação para o comprimento do tubo dentro da região laminar e prosseguir para o cálculo do comprimento da região turbulenta.

Passo 4

Para continuar, nosso primeiro passo será obter as propriedades na temperatura média dentro da região turbulenta. A temperatura média será:

T m ,   t u r b = T m ,   s a i + T m ,   t r a n s 2

T m ,   t u r b = 80 + 52 2 = 66 ° C

Para esta temperatura (tabela A-5, apêndice A):

μ = 0,0562   N s / m 2

P r = 834

k = 0,139   W / m K

c p = 2072   J / k g K

Com estes dados, podemos recalcular o número de Reynolds:

R e D = 4 m ˙ π D μ

R e D = 4 × 1 π × 5 × 10 - 3 × 5,62 × 10 - 2 = 4531,1

Para um escoamento turbulento em um duto cilíndrico, plenamente desenvolvido:

N u - D = f / 8 R e D - 1000 P r 1 + 12,7 f / 8 1 2 P r 2 3 - 1

Em que o fator f é dado por:

f = 0,79 ln ⁡ R e D - 1,64 - 2

f = 0,79 ln ⁡ 4531,1 - 1,64 - 2

f = 0,0398

Então:

h - D k = f / 8 R e D - 1000 P r 1 + 12,7 f / 8 1 2 P r 2 3 - 1

h - = 0,139 5 × 10 - 3 × 0,0398 8 × 4531,1 - 1000 × 834 1 + 12,7 × 0,0398 8 1 2 × 834 2 3 - 1

h - = 5126,9   W / m 2 K

Novamente, considerando que só ocorre transferência de calor por convecção, temos que:

q = q c o n v

q = h - A s ∆ T m l

E, assumindo que o processo ocorre sem perdas de energia teremos

q = m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   t r a n s

E

m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   t r a n s = h - A s ∆ T m l

m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   t r a n s = h - π D L ∆ T m l

L = m ˙ c p T m ,   s a i - T m ,   t r a n s h - π D ∆ T m l

L = 1 × 2072 × 80 - 52 5126,9 × π × 5 × 10 - 3 × T s - T m ,   t r a n s - T s - T m ,   s a i ln ⁡ T s - T m ,   t r a n s T s - T m ,   s a i

L = 1 × 2072 × 80 - 52 5126,9 × π × 5 × 10 - 3 × 150 - 52 - 150 - 80 ln ⁡ 150 - 52 150 - 80

L = 8,7   m

Por fim, agora que calculamos os comprimentos de tubulação para as regiões laminar e turbulenta temos que o comprimento total é:

L T = L l a m + L t u r b

L T = 18 + 8,7 = 26,7   m

Resposta

L T = 26,7   m .

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