Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 29

29 – A partir do balanço de energia do elemento de volume, derive a equação de condução de calor bidimensional transiente em coordenadas retangulares para T ( x , y , t ) , com condutividade térmica constante e sem geração de calor.

Passo 1

Dada a suposição são:

1) Bidimensional

2) Transitório

3) Condutividade térmica constante

4) Sem geração de calor

Passo 2

Vamos considerar um pequeno elemento retangular de comprimento x , largura y , e altura z = 1 .

Observando que a condução de calor é bidimensional e não assumindo geração de calor, um balanço energético desse elemento durante um pequeno intervalo de tempo t pode ser expresso como:

Q ˙ x + Q ˙ y - Q ˙ x + ∆ x - Q ˙ y + ∆ y = ∆ E e l e m e n t o ∆ t

Sabemos que o volume do elemento é,

V = ∆ x ∆ y ∆ z

Como z = 1

V = ∆ x ∆ y × 1

A mudança de energia no elemento pode ser expressa como,

∆ E e l e m e n t o = E t + ∆ t - E t

= m c p ( T t + ∆ t - T t )

Sabemos que:

m = ρ V

m = ρ ∆ x ∆ y

Logo,

= ρ ∆ x ∆ y c p ( T t + ∆ t - T t )

Passo 3

Substituindo na fórmula temos,

Q ˙ x + Q ˙ y - Q ˙ x + ∆ x - Q ˙ y + ∆ y = ρ ∆ x ∆ y c p ( T t + ∆ t - T t ) ∆ t

Dividindo tudo por ∆ x ∆ y temos,

- 1 ∆ y Q ˙ x + ∆ x - Q ˙ x ∆ x -   1 ∆ x Q ˙ y + ∆ y - Q ˙ y ∆ y = ρ c p ( T t + ∆ t - T t ) ∆ t

Considerando que a condutividade térmica k é constante e observando que as áreas da superfície de transferência de calor do elemento para condução de calor nas direções x e y são  A x = ∆ y × 1   e   A y = ∆ x × 1 , respectivamente, e considerando o limite como

∆ x , ∆ y   e   ∆ t   → 0

Temos:

∂ ∂ x k ∂ T ∂ x + ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y = ρ c p ∂ T ∂ t  

Passo 4

A partir da definição da derivada e da lei de Fourier de condução de calor, temos:

lim ∆ x → 0 ⁡ 1 ∆ y ∆ z Q ˙ x + ∆ x - Q ˙ x ∆ x = 1 ∆ y ∆ z ∂ Q x ∂ x = 1 ∆ y ∆ z ∂ ∂ x - k ∆ y ∆ z ∂ T ∂ x =

= - ∂ ∂ x k ∂ T ∂ x = - k ∂ 2 T ∂ x 2

lim ∆ y → 0 ⁡ 1 ∆ x ∆ z Q ˙ y + ∆ y - Q ˙ y ∆ y = 1 ∆ x ∆ z ∂ Q y ∂ y = 1 ∆ x ∆ z ∂ ∂ y - k ∆ x ∆ z ∂ T ∂ y =

= - ∂ ∂ y k ∂ T ∂ y = - k ∂ 2 T ∂ y 2

Então a equação de condução para condutividade térmica constante reduzida é,

∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 = 1 ∝ ∂ T ∂ t

a difusividade térmica do material é   ∝ = k ρ c p .

Portanto, a equação bidimensional de condução de calor para o sistema de coordenadas retangulares é,

∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 = 1 ∝ ∂ T ∂ t

Resposta

∂ 2 T ∂ x 2 + ∂ 2 T ∂ y 2 = 1 ∝ ∂ T ∂ t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma parede de concreto, que tem uma área superficial de 20m ² ² e espessura de 0,30m , separa o ar refrigerado de um quarto do ar ambiente. A temperatura da superfície interna da parede é mantida a 25
Informa-se que a condutividade térmica de uma folha de isolante extrudado rígido é igual a k = 0,029W / ( m.K ) . A diferença de temperaturas medida entre as superfícies de uma folha com 20m m de espe
As temperaturas interna e externa de uma janela de vidro com 5m m de espessura são 15 e 5 ° C . Qual é a perda de calor através de uma janela com 1m x 3m ? A condutividade térmica do vidro é de 1,4W /
A laje de concreto de um porão tem 11m de comprimento, 8m de largura e 0,20 m de espessura. Durante o inverno, as temperaturas são normalmente de 17 ° C e 10 ° C em suas superfícies superior e inferio
O fluxo térmico através de uma lâmina de madeira, com espessura de 50m m , cujas temperaturas das superfícies interna e externa são 40 e 20 ° C , respectivamente, foi determinado, sendo igual a 40W /