Enunciado

Uma peça de aço cujo teor inicial de carbono é de 0,10% em peso deve ser endurecida em um forno a 1150 K, por exposição a um gás de carburante. O coeficiente de difusão do carbono em aço é fortemente depende da temperatura, e na temperatura do forno é D A B = 7,2 × 10 - 12 m 2 s . Além disso, a fração de massa de carbono na superfície exposta da peça de aço é mantida em 0,011 pelo ambiente rico em carbono no forno. Considerando que o processo de endurecimento deve continuar até que a fração mássica de carbono a uma profundidade de 0,6 mm seja aumentada para 0,32%, determine quanto tempo a peça deve ser mantida no forno.

Passo 1

Bora continuar?

Então galera, o que temos aqui?

Nós temos as frações mássicas da espécie A em questão, certo? Temos que achar o tempo necessário para atingir a fração mássica a uma dada profundidade. Sendo assim, nós podemos usar uma fórmula que vai nos ajudar demaaais:

w A ( x , t ) - w A , i w A , s - w A , i = e r f c   x 2 D A B t

E o que sabemos?

w A , i = 0,1 % = 0,001

w A , s = 0,011

w A x , t = 0,32 % = 0,0032

x = 0,6   m m = 0,0006   m

D A B = 7,2 × 10 - 12 m 2 s

Nooossa!! Olha que legal! Nós já temos tudo o que precisamos, então é só substituir:

0,0032 - 0,001 0,011 - 0,001 = e r f c   0,0006   m 2 7,2 × 10 - 12 m 2 s t

0,22 = e r f c   0,0006   m 2 7,2 × 10 - 12 m 2 s t

Passo 2

Para achar a função erfc vamos ter que interpolar galera!

Olhem nossa tabelinha aí:

Como e r f c ( ɳ ) = 0 , 22 :

e r f c ɳ 1 = 0 , 2239 → ɳ 1 = 0,8 6

e r f c ɳ 2 = 0 , 2133 → ɳ 2 = 0 , 88

Se lembram da interpolação?

ɳ = ɳ 1 + e r f c   ( ɳ ) - e r f c ɳ 1 ɳ 2 - ɳ 1 e r f c ɳ 2 - e r f c ɳ 1

Substituindo:

ɳ = 0,8 6 + 0 , 22 - 0 , 2239 0 , 88 - 0 , 86 0,2133 - 0,2239

ɳ = 0 , 8674

Se é assim:

0,8674 = 0,000 3   m 7,2 × 10 - 12 m 2 s t

7,2 × 10 - 12 m 2 s t = 1,196 × 10 - 7 m ²

t = 16615,5   s

E em horas:

t = 16615,5   s × 1   h   3600   s = 4,62   h

E finalizamos mais umaa!!

Resposta

4,62   h

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