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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 36

Repita o P r o b .   5 - 25 usando aletas de cobre k = 386 W m ∙ K em vez de alumínio.

Passo 1

Muito bem! vamos primeiro pegar os dados do exercício, eu os separei aqui:

∆ x = 0,005   m ; k = 386 W m ∙ K ; T ∞ = 30 ° C ,   T 0 = 100 ° C ,   h = 35 W m 2 ∙ K ; D = 0,25   c m  

Agora feito isso, precisamos encontrar a quantidade de nós a partir do nosso espaçamento nodal.

M = L ∆ x + 1 = 3   c m 0,5   c m + 1 = 7

A temperatura na base é o nosso próprio T 0 = 100 ° C . A representação do problema ficará assim...

Logo, aplicando a formulação de diferenças finitas, podemos expressar uma equação geral para os nós interiores 1, 2, 3, 4 e 5:

k A T m - 1 - T m ∆ x + k A T m + 1 - T m ∆ x + h p ∆ x T ∞ - T m = 0

Podemos simplifica-la, dividindo cada termo por k A ∆ x . Portanto nossa equação se torna:

T m - 1 - 2 T m + T m + 1 + h p ∆ x 2 k A T ∞ - T m = 0

Passo 2

Agora podemos ter uma equação para cada nó.

Para o N ó   1 :

T 0 - 2 T 1 + T 2 + h p ∆ x 2 k A T ∞ - T 1 = 0

Para o N ó   2 :

T 1 - 2 T 2 + T 3 + h p ∆ x 2 k A T ∞ - T 2 = 0

Para o N ó   3 :

T 2 - 2 T 3 + T 4 + h p ∆ x 2 k A T ∞ - T 3 = 0

Para o N ó   4 :

T 3 - 2 T 4 + T 5 + h p ∆ x 2 k A T ∞ - T 4 = 0

Para o N ó   5 :

T 4 - 2 T 5 + T 5 + h p ∆ x 2 k A T ∞ - T 5 = 0

Para o N ó   6 :

k A T 5 - T 6 ∆ x + h p ∆ x 2 + A T ∞ - T 6 = 0

Onde temos que...

A = π D 2 4 = π 0,25   c m 2 4 = 0,0491   c m 2 = 0,0491 × 10 4   m 2

p = π D = π 0,0025   m = 0,00785   m

Passo 3

Resolvendo as equações encontradas simultaneamente, chegamos nas temperaturas:

T 1 = 9 8,6 ° C

T 2 = 9 7,5 ° C

T 3 = 9 6,7 ° C

T 4 = 9 6,0 ° C

T 5 = 9 5,7 ° C

T 6 = 9 5,5 ° C

Passo 4

Para encontrarmos a taxa de transferência de calor de uma única aleta, precisamos apenas realizar o somatório do calor transferido de cada ponto nodal.

Para fazermos isso basta utilizarmos a equação abaixo:

Q ˙ a l e t a = ∑ m = 0 6 Q ˙ e l e m e n t o ,   m = ∑ m = 0 6 h A s u p e r f í c i e ,     m T m - T ∞

Q ˙ a l e t a = h p ∆ x 2 T 0 - T ∞ + h p ∆ x T 1 + T 2 + T 3 + T 4 + T 5 - 5 T ∞ + h p ∆ x 2 + A T 6 - T ∞

Q ˙ a l e t a = 0,5 641   W

Passo 5

Isso aí, agora que temos nossa taxa de transferência de calor para uma única aleta, precisamos encontrar o número de aletas para termos o valor total.

Pode ficar tranquilo, essa formula irá te ajudar...

N a l e t a s = S e ç ã o   d a   p l a c a D i s t â n c i a   c e n t r o   a   c e n t r o 2

N a l e t a s = 1   m 2 0,006   m 2 = 27,778   a l e t a s

Passo 6

Certo!! Agora podemos calcular a taxa de transferência de calor total.

Q ˙ a l e t a ,   t o t a l = N a l e t a s Q ˙ a l e t a = 27,778 0,5 641   W = 15,67 0   W

Porém precisamos nos atentar a área exposta de transferência de calor que a área que está presente a cada espaçamento.

Q ˙ e x p o s t a = h A e x p o s t a T 0 - T ∞

Q ˙ e x p o s t a = 35 W m 2 ∙ K 1 - 27,778 × 0,0491 × 10 - 4 m 2 100 - 30 ° C = 2116   W

Portanto...

Q ˙ t o t a l = Q ˙ a l e t a , t o t a l + Q ˙ e x p o s t a

Q ˙ t o t a l = 15 , 670 + 2116 = 17 , 8   W

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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