Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 130
A temperatura de ebulição do nitrogênio ao nível do mar (pressão atmosférica de 1 atm) é -196 °C. Logo, o nitrogênio é usado em estudos científicos a baixas temperaturas, já que a temperatura do nitrogênio líquido em um tanque aberto permanecerá constante em -196 °C enquanto houver nitrogênio líquido no tanque. Qualquer transferência de calor para o tanque resulta em evaporação de parte do nitrogênio líquido, que tem calor de vaporização de e densidade de a 1 atm.
Considere um tanque esférico de parede espessa, raio interno , raio externo e condutividade térmica constante . O tanque está inicialmente cheio de nitrogênio líquido a 1 atm e -196 °C exposto ao ar a uma temperatura ambiente , com coeficiente de transferência de calor . A temperatura da superfície interna do tanque esférico permanece praticamente igual à temperatura do nitrogênio em seu interior. Assumindo que a transferência de calor é unidimensional e permanente, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor através do tanque, (b) obtenha a relação para a variação de temperatura do tanque resolvendo a equação diferencial e (c) determine a taxa de evaporação do nitrogênio líquido no tanque como resultado da transferência de calor do ar ambiente.
Passo 1
Vamos lá! Nosso ponto de partida é entender quais as condições que o nosso problema está sujeito, isto é, quais são as nossas hipóteses!
Temos um problema de calor unidimensional em regime permanente, sem geração de calor e com condutividade térmica constante.
Como estamos trabalhando com uma esfera, vamos utilizar o sistema de coordenadas esférico. Portanto, temos a seguinte equação diferencial que rege o nosso problema:
Agora, vamos descrever as condições de contorno do nosso problema. Temos temperatura constante na superfície interna e convecção na superfície externa. Portanto, as condições de contorno são:
Passo 2
Agora, vamos resolver a nossa EDO. Integrando-a duas vezes, temos:
Para podermos finalizar a equação que define a variação de temperatura, precisamos descobrir quem são as suas duas constantes. Para isto, utilizaremos as condições de contorno do nosso problema. Da temperatura constante na superfície interna, temos:
Já em relação a segunda condição de contorno, temos:
Voltando para descobrir quem é , temos:
Substituindo estes valores na equação da variação de temperatura, obtemos:
Passo 3
Agora, precisamos determinar a taxa de evaporação do nitrogênio. Para isto, precisamos descobrir a taxa de transferência de calor da esfera para o ambiente. Este calor que a esfera “absorve” é o calor responsável pela mudança de fase do nitrogênio.
Começando então pela taxa de transferência de calor, temos:
É importante observarmos o sinal da nossa resposta. O sinal negativo significa que a transferência de calor não é para fora do tanque, mas sim para dentro. Isto era o esperado, visto que o tanque absorve calor do ambiente para o nitrogênio evaporar (temperatura do tanque menor que a temperatura do ambiente).
Agora, nos basta calcularmos a taxa de evaporação do nitrogênio. Utilizando o calor de vaporização, temos:
Resposta
- A equação diferencial e as condições de contorno são:
- A variação de temperatura no tanque é:
- A taxa de evaporação de nitrogênio: