Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 124
Considere que um reator esférico de 5 cm de diâmetro em condição operacional permanente tem variação de temperatura expressa na forma , onde e . O reator é feito de material com , , . Considerando que a geração de calor do reator de repente for definido como , determine a taxa de variação de temperatura no reator. A geração de calor do reator de repente aumentou ou diminui a de sua condição inicial?
Passo 1
Vamos lá! Nosso ponto de partida é entender quais as condições que o nosso problema está sujeito, isto é, quais são as nossas hipóteses!
Portanto, temos um problema de regime transiente (variação de temperatura no tempo). Além disto, não há geração de calor, a condução é unidimensional e a condutividade térmica é constante.
Agora sim, podemos partir pro nosso problema! Como estamos trabalhando com uma esfera, vamos utilizar o sistema de coordenadas esférica. Portanto, temos a seguinte EDP que rege a condução de calor no nosso reator:
Com todas estas considerações iniciais, já podemos partir para a resolução do nosso problema em si.
Passo 2
E agora, como resolvemos a EDP do Passo 1? Para isto, vamos começar a utilizar as informações dadas na questão. Como ela nos deu a variação da temperatura com o raio, já podemos resolver a nossa primeira parte da EDP (transformar ela em uma EDO!).
Para isto, vamos diferenciar a função em relação ao raio. Portanto,
Substituindo este termo na EDP, temos:
Ou simplesmente,
A questão nos pede para determinar inicialmente a taxa de variação da temperatura no reator. Esta taxa é exatamente o termo . Sendo assim, basta apenas substituir os valores das constantes na equação acima. Lembrando que , temos:
Logo, a taxa de variação da temperatura no reator é -61,67 °C.
Passo 3
Agora, precisamos entender se a geração de calor aumentou para ou diminuiu para este valor. A chave para esta pergunta é exatamente o valor que calculamos no final do passo anterior!
Ou melhor, sendo mais preciso ainda, a chave é o sinal da nossa resposta! Como a variação da temperatura no tempo é negativa, significa dizer que o calor gerado não é suficiente para manter a temperatura nas condições do processo. Consequentemente, se não é suprido o calor necessário, a temperatura irá diminuir.
Sendo assim, a geração de calor diminuiu
Resposta
A taxa de variação da temperatura no reator é -61,67 °C e a geração de calor diminuiu.