Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 132
Considere uma extensa parede plana de espessura e condutividade térmica . Não há acesso ao lado interno da parede em , por isso as condições térmicas nessa superfície são desconhecidas. Entretanto, sabe-se que a superfície externada da parede em , cuja emissividade é , troca calor por convecção com ar ambiente em temperatura , com coeficiente médio de transferência de calor , bem como por radiação com as superfícies ao redor, que se encontram a uma temperatura média . Além disso, a temperatura da superfície externa mede . Assumindo que a transferência de calor é unidimensional e permanente, (a) expresse a equação diferencial e as condições de contorno para condução de calor através da placa, (b) obtenha a relação para temperatura da superfície externa da placa resolvendo a equação diferencial e (c) avalie a temperatura da superfície interna da parede em .
Passo 1
O nosso primeiro passo é fazer considerações para resolver o nosso problema. Sendo assim, temos um problema de regime permanente, com condução de calor unidimensional, sem geração de calor, condutividade térmica constante e com radiação térmica.
Como estamos trabalhando com uma placa, vamos utilizar o sistema de coordenadas retangular. Levando em consideração as nossas hipóteses, a EDO que rege o nosso problema é:
Agora, precisamos discutir as condições de contorno que o nosso problema está sujeito, e ambos estão relacionados a superfície externa. Primeiramente, sabemos que a temperatura a qual a superfície está sujeita. Portanto,
Já a outra é condição é condução de calor na superfície. Nela, temos a presença de convecção e radiação. Portanto,
Passo 2
Agora, precisamos resolver a nossa EDO e utilizar as condições de contorno, pois, determinar a variação de temperatura na parede nada mais é do que determinar a distribuição de temperatura nela. Portanto, temos:
Aplicando ambas as condições de contorno, temos o seguinte sistema:
Resolvendo o sistema, vamos obter a seguinte equação para a distribuição de temperatura:
Substituindo os valores das constantes, temos:
E esta é a distribuição de temperatura na parede.
Passo 3
Por fim, vamos obter a temperatura na superfície interna da parede. Substituindo na equação que descobrimos no Passo 2, temos:
E é isto aí!
Resposta
- A EDO é:
- A distribuição de temperatura na parede é:
- A temperatura na superfície interna é
E as condições de contorno são: