Enunciado

A velocidade, V, de uma onda de superfície livre devido à gravidade é, em águas profundas, uma função da profundidade, D, da massa específica, ρ, da aceleração da gravidade, g, e da tensão. Use a análise dimensional para determinar a dependência funcional de V em relação às outras variáveis. Expresse V na forma mais simples possível.

Passo 1

Vamos lá!! Esse problema fala da velocidade V de uma onda de superfície e já da pra a gente em função de que essa velocidade é:

V = f ( D , ρ , g , σ )

Então ficamos com:

n = 5

O problema pede pra a gente usar análise dimensional para escrever V em função dos outros parâmetros relevantes e ele pede pra escrever V da maneira mais simples possível!

Então bora lá!

Passo 2

Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro! Para isso vamos usar o conjunto de dimensões fundamentais M L t , mas você pode usar o F L t e no final o resultado tem que dar o mesmo!

V = L 1 t - 1

D = L

ρ = M 1 L - 3

g = { L 1 t - 2 }

σ = { M 1 t - 2 }

A gente usou as dimensões M ,   L e t , então:

r = 3

Passo 3

Como vimos que r = 3 temos que selecionar 3 parâmetros dentro dos nossos parâmetros relevantes, que vão ser os parâmetros repetidos.

Relembando nossos parâmetros relevantes:

V = f ( D , ρ , g , σ )

V   é o parâmetro dependente, então a gente já exclui ele!

Para os parâmetros repetidos, aqui vamos escolher:

g , ρ   e   D

Passo 4

A gente tem:

m = r = 3

E:

n = 5

Então ficamos com:

n - m = 2

Logo vamos achar dois grupos π , então mãos a obra!!

Passo 5

Agora sim, vamos encontrar o nosso primeiro grupo π !!

Começando com o π 1 , onde vamos usar o   F :

π 1 = 1 = { ( V ) × g a × ρ b × D c }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π 1 = M 0 L 0 t 0 = { ( L 1 t - 1 ) × L 1 t - 2   a × M 1 L - 3 b × L 1 c }

Agora equacionando:

Massa:

M 0 = M b

b = 0

Comprimento:

L 0 = L 1 × L a × L - 3 b × L c

0 = 1 + a - 3 b + c

0 = 1 + a + c

Tempo:

t 0 = t - 1 × t - 2 a

0 = - 1 - 2 a

a = - 1 2

Logo:

0 = 1 + a + c

c = - 1 - a

c = - 1 + 1 2 = - 1 2

Substituindo a , b e c , temos:

π 1 = { ( V ) × g - 1 2 × ρ 0 × D - 1 2 }

Organizando:

π 1 = V g D

Passo 6

Agora vamos achar π 2 , combinando as nossas variáveis repetidas com σ :

π 2 = 1 = { ( σ ) × g d × ρ e × D f }

Escrevendo suas dimensões básicas:

π 2 = M 0 L 0 t 0 = { ( M 1 t - 2 ) × L 1 t - 2   d × M 1 L - 3 e × L 1 f }

Equacionando:

Massa:

M 0 = M 1 + M e

0 = 1 + e

e = - 1

Comprimento:

L 0 = L d × L - 3 e × L f

0 = d - 3 e + f

0 = d + 3 + f

f + d = - 3

Tempo:

t 0 = t - 2 × t - 2 d

0 = - 2 - 2 d

d = - 1

Logo:

f + d = - 3

f = - 3 + 1 = - 2

Substituindo:

π 2 = { ( σ ) × g - 1 × ρ - 1 × D - 2 }

π 2 = σ g ρ D 2

Passo 7

Agora vamos relacionar esses dois grupos π   :

O π 1 é o grupo adimensional dependente, porque nele usamos V que é o parâmetro dependente, então temos:

π 1 = f ( π 2 )

Que é o mesmo que:

V g D = f σ g ρ D 2

Isolando   V :

V = g D × f σ g ρ D 2

Uhuuuul!!!

Resposta

V = g D × f σ g ρ D 2

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