Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 16
A velocidade, V, de uma onda de superfície livre devido à gravidade é, em águas profundas, uma função da profundidade, D, da massa específica, ρ, da aceleração da gravidade, g, e da tensão. Use a análise dimensional para determinar a dependência funcional de V em relação às outras variáveis. Expresse V na forma mais simples possível.
Passo 1
Vamos lá!! Esse problema fala da velocidade de uma onda de superfície e já da pra a gente em função de que essa velocidade é:
Então ficamos com:
O problema pede pra a gente usar análise dimensional para escrever em função dos outros parâmetros relevantes e ele pede pra escrever da maneira mais simples possível!
Então bora lá!
Passo 2
Agora a gente precisa listar as dimensões primárias de cada parâmetro! Para isso vamos usar o conjunto de dimensões fundamentais , mas você pode usar o e no final o resultado tem que dar o mesmo!
A gente usou as dimensões e , então:
Passo 3
Como vimos que temos que selecionar parâmetros dentro dos nossos parâmetros relevantes, que vão ser os parâmetros repetidos.
Relembando nossos parâmetros relevantes:
é o parâmetro dependente, então a gente já exclui ele!
Para os parâmetros repetidos, aqui vamos escolher:
Passo 4
A gente tem:
E:
Então ficamos com:
Logo vamos achar dois grupos , então mãos a obra!!
Passo 5
Agora sim, vamos encontrar o nosso primeiro grupo !!
Começando com o , onde vamos usar o:
Escrevendo suas dimensões básicas:
Agora equacionando:
Massa:
Comprimento:
Tempo:
Logo:
Substituindo , e , temos:
Organizando:
Passo 6
Agora vamos achar , combinando as nossas variáveis repetidas com :
Escrevendo suas dimensões básicas:
Equacionando:
Massa:
Comprimento:
Tempo:
Logo:
Substituindo:
Passo 7
Agora vamos relacionar esses dois grupos :
O é o grupo adimensional dependente, porque nele usamos que é o parâmetro dependente, então temos:
Que é o mesmo que:
Isolando:
Uhuuuul!!!