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Teoria

Fala, galera! Neste capítulo, a gente vai entender um pouco melhor o que são as curvas características das bombas, então bora lá!

Se liga nesse exemplo aqui em baixo:

Beleza! Agora imagine que a gente vá fazer um experimento. Eu vou alterar a vazão que passa pela bomba e você vai ver pra mim quanto marca p s e p d , fechado?

Depois de vários pontos, a gente pode juntar tudo numa tabela como essa aqui em baixo:

Antes de tudo, tem umas pressões negativas! Será que a gente errou em alguma coisa? :o

Não erramos não! Ahah Isso é porque estamos medindo a pressão manométrica, ou seja, ela é a diferença entre a pressão absoluta e a atmosférica, lembra? Então, se deu negativo, é porque a pressão no ponto p s é menor que a p a t m .

Agora, vamos ver o que tá acontecendo! Como já esperávamos a pressão de descarga ( p d ) é maior que a pressão de sucção ( p s ), afinal esse é o papel da bomba: aumentar a pressão do fluido.

Pra gente escolher a melhor bomba pro nosso sistema, precisamos saber qual a potência hidráulica ( W ˙ s ) que cada uma fornece. A potência de uma bomba é a taxa de energia mecânica cedida ou retirada do fluido por uma máquina de fluxo.

Definimos a potência como sendo:

W ˙ s = ρ . Q . g . H

Em que Q é a vazão volumétrica, g é a aceleração da gravidade e H representa o aumento de carga proporcionado pelas bombas ou a diminuição de carga em turbinas.

Então, a gente precisa encontrar a carga que a bomba fornece ( H b o m b a ) e, para isso, é só a gente aplicar a equação de Bernoulli entre a sucção e a descarga:

H b o m b a = p d ρ . g + V - d 2 2 . g + z d - p s ρ . g + V - s 2 2 . g + z s

Admitindo que a velocidade do fluido não varia entre os dois pontos:

H b o m b a = p d ρ . g + z d - p s ρ . g + z s

H b o m b a = p d - p s ρ . g + z d - z s

Vamos escolher um ponto para calcular a perda de carga: vamos pegar o ponto em que a vazão equivale a Q = 227   m 3 . h - 1 . Nesse ponto, a gente tem que

H b o m b a = 230   k P a - - 39   k P a 1000   k g . m - 3 . 9,81   m . s - 2 + 0.9   m - 0,3   m

H b o m b a = ~ 28   m

Então, a potência dessa bomba ( W ˙ s ) na vazão de Q = 227   m 3 . h - 1 equivale a:

W ˙ s = ρ . Q . g . H b o m b a

W ˙ s = 1000 k g m ³ . 227 m 3 h 1   h 3600   s . 9,81   m . s - 2 . 28   m

W ˙ s = ~ 17,3   k W

Se soubermos ainda quanto de potência o motor da bomba ( W ˙ m ) fornece, podemos calcular qual a eficiência da bomba ( η ). Nessa vazão, sabemos que W ˙ m = 28,5   k W , então:

η = W ˙ s W ˙ m             →             η = 17,3   k W 28,5   k W             →           η = 0,844

Beleza! Se fizermos esses cálculos para cada um dos pontos, a gente pode construir uma curva que mostra o comportamento da carga ( H b o m b a ), da potência ( W ˙ s ) e da eficiência ( η ) com a vazão volumétrica ( Q ). Dá uma olhada em como ficaria:

A curva que mostra o comportamento da carga fornecida pela bomba ( H b o m b a ) com a vazão é a denominada curva característica da bomba! Essa curva geralmente é dada pelo fabricante do equipamento da seguinte maneira:

Nesse gráfico, a gente pode ver curvas para bombas com rotores de diferentes diâmetros, além das curvas de eficiência em tracejado (---).

Nossa função é escolher qual bomba fornece a carga necessária para atender o nosso sistema. Só que, para isso, a gente precisa calcular também a curva característica do sistema!

Pra construir a curva característica do sistema é bem parecido com o que fizemos para a bomba, basta a gente calcular qual a perda de carga total do sistema ( H s i s t ) para diferentes vazões volumétricas ( Q ). Assim, obtemos algo do tipo:

Tendo as duas curvas, a gente consegue comparar ambas e ver em qual ponto elas se cruzam, pois nesse ponto, teremos:

H b o m b a = H s i s t

Esse é o ponto que denominamos ponto de operação. É nesse ponto em que toda a carga necessária pelo sistema é fornecida pela bomba ( N P S H D ).

Em vazões menores, a bomba fornece uma carga maior que a necessária e, em vazões maiores, a bomba não é suficiente para atender a carga do sistema.

Bora ver como funciona isso na prática, então responde aí! ^^

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Apostila de Mecânica dos Fluidos – UFRJ

Selecione uma bomba para um sistema em que a vazão de água é 1750   g p m e a carga a ser adicionada é 120   f t . O fabricante fornece o gráfico de seu catálogo de bombas (Peerless Pump) abaixo:

Passo 1

Com o gráfico informado pelo fornecedor, a gente por ver as diferentes curvas características para cada um dos diâmetros de rotor e as curvas de rendimento. Além disso, na parte inferior do gráfico, observamos a curva de N P S H R (com escala no eixo da direita).

O enunciado nos pediu uma carga de N P S H D = 120   f t , operando com uma vazão de 1750   g p m . Então, pelo gráfico, temos:

Veja que esse ponto encosta na curva cujo diâmetro do rotor é 13   i n . Esse ponto está próximo à curva de eficiência cujo valor equivale a η = 86 % . Então, a gente pode calcular o trabalho que a bomba efetivamente realiza da seguinte maneira:

η = W ˙ s W ˙ m

W ˙ m = W ˙ s η

Como o valor informado no gráfico é de carga e não potência, temos que calcular a potência do motor ( W ˙ m ):

W ˙ s = ρ . Q . H b o m b a . g

Convertendo a vazão e a carga para o S.I.:

Q = 1750 g a l m i n . 1   m i n 60   s . 3,785.10 - 3   m 3 1   g a l

Q = 0,11   m 3 . s - 1

H b o m b a = 120   f t . 1   m 3,281   f t

H b o m b a = 36,6   m

Assim, temos que:

W ˙ m = 1000   k g . m - 3 . 0,11   m 3 . s - 1 . 36,6   m . 9,81   m . s - 2 0,86

W ˙ m = 45,9   k W

Passo 2

Avaliando ainda a curva de N P S H R nesta vazão:

Temos que:

N P S H R = 15   f t

Resposta

A bomba que apresenta o melhor desempenho segundo as condições do enunciado é a:

6 A E 14   c o m   13   i n   d e   d i â m e t r o   ( r o t o r )

Exercício Resolvido #2

FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J.; LEYLEGIAN, J. C. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Minas Gerais: Gen LTC, 2011.

Uma bomba centrífuga de 9   i n de diâmetro de rotor girando a 900   r p m com água a 68 o   F gera os seguintes dados:

Trace curvas de desempenho desta bomba; inclua uma curva de eficiência versus a vazão volumétrica. Localize o ponto de melhor eficiência e especifique a capacidade da bomba neste ponto.

Passo 1

Para construirmos a curva da bomba, temos que plotar os dados de carga ( H ) versus vazão volumétrica ( Q ). Beleza! Isso foi informado pra gente já na tabela!

Além disso, foi pedida a curva de eficiência ( η ) e, então, a gente precisa calcular esses valores para cada ponto. Sabemos que a eficiência é definida como:

η = W ˙ s W ˙ m

Pela tabela, a gente consegue diretamente os valores da potência do motor ( W ˙ m ), que é denominada

Precisamos agora calcular a potência da bomba ( W ˙ s ) e a gente sabe que ela é dada por:

W ˙ s = ρ . Q . H . g

Ou seja, para cada conjunto de valores de vazão volumétrica ( Q ) e perda de carga ( H ), teremos uma potência da bomba diferente.

Dessa maneira, a gente conseguirá calcular a eficiência por meio da equação:

η = ρ . Q . H . g W ˙ m

Ao organizar todos os valores numa tabela, temos que:

Agora é só plotar o gráfico com os valores de abscissa x sendo a vazão volumétrica ( Q ) e duas curvas: uma com a carga ( H ) – curva em vermelho - e outra com a eficiência ( η ) – curva em azul:

Essas curvas são interpolações de segundo grau dos dados que temos, ou seja, são parábolas que melhor se aproximam dos nossos dados. Podemos fazer isso no Excel, por exemplo. Como resultado, obtivemos:

H ( Q ) = - 1,062 x 10 - 5 . Q 2 + 6,39 x 10 - 4 . Q + 22,8

η ( Q ) = - 1,752 x 10 - 6 . Q 2 + 0,00237 . Q + 0,0246

O ponto de melhor desempenho é aquele cuja eficiência é máxima. Então, para encontrar o ponto máximo, basta verificar o valor de Q que anula a derivada da função:

d η d Q = 0

d η d Q = - 3,504   x 10 - 6 . Q + 0,00237

Q m a x = 676,4   c f m

Agora, se a gente jogar esse valor na equação da eficiência, teremos que:

η ( Q m a x ) = - 1,752 x 10 - 6 . ( Q m a x ) 2 + 0,00237 . Q m a x + 0,0246

η m a x = - 1,752 x 10 - 6 . 676,4   c f m 2 + 0,00237 . 676,4   c f m + 0,0246

η m a x = 0,826

Para descobrir o respectivo valor da carga, a gente pode jogar a vazão encontrada na equação da carga e assim:

H ( Q m a x ) = - 1,062 x 10 - 5 . ( Q m a x ) 2 + 6,39 x 10 - 4 . Q m a x + 22,8

H m a x = - 1,062 x 10 - 5 . 676,4   c f m 2 + 6,39 x 10 - 4 . ( 676,4   c f m ) + 22,8

H m a x = 18,4   f t

Resposta

As curvas são da seguinte forma:

No ponto de máximo desempenho, temos que:

Q m a x = 676,4   c f m

η m a x = 0,826

H m a x = 18,4   f t

Exercício Resolvido #3

Frank M. White – Mecânica dos Fluidos. 6ª Edição.

(Adaptada) Queremos usar a bomba de 32 " da figura abaixo a 1770   r p m para bombear água a 15 o   C de um reservatório para outro a 36,6   m de altura de 460   m de tubo com diâmetro interno de 16 " com um fator de atrito f = 0,030 . Assuma que ambos reservatórios são abertos para a atmosfera e que a curva da bomba de 32 " segue o seguinte comportamento:

H b o m b a = 149 - 1,55 . Q 2

  1. Qual será o ponto de operação?
  2. Qual o rendimento no ponto de operação?

Passo 1

Nosso primeiro passo será avaliar com a altura da carga do sistema em questão! A gente sabe que o sistema é composto por dois reservatórios, distando verticalmente 36,6   m um do outro e eles são conectados por 460   m de tubo (diâmetro de 16 " e f = 0,030 ) .

Pela equação de Bernoulli aplicada ao sistema, temos que:

H s i s t e m a = p 1 ρ . g + V - 2 2 2 . g + z 2 - p 1 ρ . g + V - 1 2 2 . g + z 1 + h L T

Como a velocidade do fluido nos reservatórios é desprezível e ambos estão a mesma pressão ( p a t m ) por estarem abertos, a altura de carga do sistema é dada por:

H s i s t e m a = z 2 - z 1 + h t u b o

A perda de carga na tubulação é dada por:

h t u b o = f . L D . V 2 2 . g

Podemos reescrever a expressão em termos da vazão volumétrica e assim:

Q = V . A

V = 4 . Q π . D 2

Substituindo na expressão:

h t u b o = f . L D . 1 2 . g . 4 . Q π . D 2 2

h t u b o = f . L D 5 . 8 . Q ² π 2 . g

Logo:

H s i s t e m a = z 2 - z 1 + f . L D 5 . 8 . Q 2 π 2 . g

Passo 2

Antes de substituir todos os dados, vamos converter o diâmetro em unidades S.I.:

D = 16   i n . 0,0254   m 1   i n             →           D = 0 , 4064   m

Substituindo os valores informados pelo enunciado:

H s i s t e m a = 36,6   m + 0,030 . 460   m 0,4064   m 5 . 8 . Q 2 π 2 . 9,81   m . s - 2

H s i s t e m a = 36,6 + 102,8 6 . Q 2

Como a figura utiliza a vazão volumétrica em 10 3   m 3 . h - 1 , podemos reescrever a equação para:

H s i s t e m a = 36,6 + 102,8 6 . Q x 10 3 m 3 h . 1   h 3600   s . 10 3   m 3 1   m 3 2

H s i s t e m a = 36,6 + 7,94 . Q 2

Passo 3

Agora, a gente pode traçar a curva do sistema e ver em que ponto ela intercepta a curva de altura de carga da bomba com 32 " de diâmetro. Comparando as duas curvas ��no olho”, a gente tem:

Mas, para encontrar o valor analiticamente, vamos utilizar a curva fornecida pelo enunciado para a bomba de 32 " :

H b o m b a = 149 - 1,55 . Q 2

O ponto de operação se refere ao ponto em que as curvas se cruzam, então, para encontra-lo a gente pode fazer o seguinte:

H s i s t e m a = H b o m b a

36,6 + 7,94 . Q 2 = 149 - 1,55 . Q 2

Q 2 = 112,4 9,49

Q = 3,44   m 3 . s - 1

Com essa vazão, a altura de carga da bomba equivale a:

H b o m b a = 149 - 1,55   . 3,44   m 3 . s - 1 2

H b o m b a = 131   m

Note que o valor foi equivalente ao que achamos “no olho”! ^^

Passo 4

Pelo gráfico, podemos ver que esse ponto está próximo da curva de rendimento de 82 % :

Logo, o rendimento nesse ponto pode ser admitido como aproximadamente:

η = ~ 0,82

Resposta

  1. O ponto de operação é aquele em que:

    2. Q = 3,44   m 3 . s - 1             e             H b o m b a = 131   m

  2. O rendimento nesse ponto equivale a:

η = ~ 0,82

Exercício Resolvido #4

FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J.; LEYLEGIAN, J. C. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Minas Gerais: Gen LTC, 2011.

(Adaptada) Uma bomba Peerless horizontal de carcaça bipartida do tipo 14 A E 12 , com diâmetro de rotor 280   m m e operando com 1750   r p m leva água de um reservatório a outro por tubos de ferro fundido com 61   m de 100   m m e de 61   m de 75   m m montados em série. A diferença de altura entre os reservatórios é de 3   m . Esboce um gráfico da curva de operação do sistema.

Dados: A viscosidade cinemática do fluido é dada por ν = 1,14 x 10 - 6 m 2 . s - 1 e a rugosidade do ferro fundido é ϵ = 2,6 x 10 - 4   m .

Passo 1

Vamos primeiro organizar nossos dados! O sistema possui dois trechos de tubulação de ferro fundido com 61   m de comprimento, tendo um deles 100   m m ( D 1 ) de diâmetro e o segundo, 75   m m ( D 2 ). Além disso, a diferença de altura entre os reservatórios é de Δ z = 3 m .

A curva do sistema nada mais é do que um gráfico de carga do sistema ( H s i s t e m a ) por vazão volumétrica ( Q ). Então, nosso trabalho aqui é calcular H s i s t e m a com um conjunto de valores para Q . Então, bora lá! ^^

Seja o sistema ilustrado abaixo (não muito artístico, mas com carinho ahaha):

Aplicando o balanço de energia entre os dois reservatórios, temos que:

W s + p 1 ρ + α 1 . V - 1 2 2 + g . z 1 = p 2 ρ + α 2 . V - 2 2 2 + g . z 2 + h L T

H b o m b a + p 1 ρ . g + α 1 . V - 1 2 2 . g + z 1 = p 2 ρ . g + α 2 . V - 2 2 2 . g + z 2 + h L T g

H b o m b a = h L T g + p 2 - p 1 ρ . g + α 2 . V - 2 2 - α 1 . V - 1 2 2 . g + ( z 2 - z 1 )

Assumindo que os dois reservatórios são abertos, temos que: p 1 = p 2 = 1 a t m . Além disso, a velocidade com que a altura do líquido no reservatório varia é muito pequena, então desprezamos as velocidades V - 1 e V - 2 .

Com essas considerações:

H b o m b a = h L T g + Δ z

Já conhecemos Δ z e g é a aceleração da gravidade. Precisamos agora encontrar a perda de carga do sistema h L T .

Passo 2

Vamos desprezar os possíveis acidentes do sistema por não terem sido mencionados e calcular somente as perdas de carga das duas tubulações em série.

A gente já viu que a perda de carga em uma tubulação pode ser calculada por:

h t u b o = f . L D . V 2 2

Em que f é o fator de atrito obtido pelo diagrama de Moody ou via equação de Colebrook ou ainda pela equação (explícita) de Milliard.

Dessa maneira, ficamos com:

H b o m b a = Δ z + h L T g

H b o m b a = Δ z + f . L 1 D 1 . V 1 2 2 . g + f . L 2 D 2 . V 2 2 2 . g

Podemos expressar a velocidade por meio da vazão volumétrica da seguinte forma:

V 1 = 4 . Q π . D 1 2                 ⇒               V 1 = 4 . Q π . 0,100   m 2                 ⇒               V 1 = 127,3 . Q

Assim:

R e 1 = V 1 . D 1 ν             ��   ⇒               R e 1 = V 1 . 0,100   m 1,14 x 10 - 6   m 2 . s - 1                 ⇒               R e 1 = 8,77 x 10 4 . V 1

A rugosidade relativa é dada por:

ϵ D 1 = ( 2,6 x 10 - 4   m ) ( 0,100   m ) = 2,6 x 10 - 3

Além disso, para o Segundo tubo:

V 2 = 4 . Q π . D 2 2           ⇒           V 2 = 4 . Q π . 0,075   m 2                 ⇒               V 2 = 226,3 . Q

Assim:

R e 2 = ρ . V 2 . D 2 μ                 ⇒               R e 2 = V 2 . 0,075   m 1,14 x 10 - 6   m 2 . s - 1                 ⇒               R e 2 = 6,58 x 10 4 . V 2

A rugosidade relativa é dada por:

ϵ D 2 = ( 2,6 x 10 - 4   m ) ( 0,075   m ) = 3,5 x 10 - 3

Logo:

H a = 3 m + f 1 . 61   m 0,100   m . V 1 2 2 . 9,81   m . s - 2 + f 2 . 61   m 0,075   m . V 2 2 2 . 9,81   m . s - 2

H a = 3 m + 31 . f 1 . V 1 2 + 41,5 . f 2 . V 2 2

Substituindo as velocidades em função da vazão, teremos:

H a = 3 m + 5,02 x 10 5 . f 1 . Q 2 + 2,13 x 10 6 . f 2 . Q 2

H a = 3 m + ( 5,02 x 10 5 . f 1 + 2,13 x 10 6 . f 2 ) . Q 2

Agora, temos uma expressão geral para a carga do sistema. Basta escolhermos alguns valores de vazão e calcularmos os fatores de atrito correspondentes (pelo diagrama de Moody, ou pela equação de Colebrook ou pela equação de Milliard) e qual a carga H b o m b a !

Fazendo isso para alguns pontos, teremos um comportamento gráfico parecido com esse:

Resposta

H a = 3 m + ( 5,02 x 10 5 . f 1 + 2,13 x 10 6 . f 2 ) . Q 2

Exercício Resolvido #5

Concurso Petrobras 2011 – Engenheiro de Processamento Júnior | Lista Mecânica dos Fluidos UFRJ

Em uma refinaria, uma bomba será responsável por transportar água (1000 kg/m³) entre duas lagoas de aeração, ao longo de uma tubulação de 90 m de comprimento e 100 mm de diâmetro. Não há diferença de elevação entre os pontos de captação e descarga da água. No escoamento, através da tubulação, o fator de atrito de Darcy pode ser estimado como 0,02. Para executar essa tarefa, está sendo avaliada a possibilidade da utilização de uma bomba com a seguinte curva característica:

H Q = - 5000 Q 2 - 100 Q + 7

onde H é a carga hidráulica em metros e Q é a vazão volumétrica em m³/s. Considerando-se a aceleração da gravidade como 10 m/s², a relação entre o comprimento e o diâmetro da circunferência (π) como 3 e desprezando-se as perdas localizadas, a vazão de operação do sistema corresponderá à solução da seguinte equação algébrica:

(A) - 5000 Q 2 - 100 Q + 23 = 0

(B) - 5000 Q 2 - 16000 Q + 7 = 0

(C) - 5000 Q 2 - 100 Q + 7 = 0

(D) - 21000 Q 2 - 100 Q + 7 = 0

(E) 11000 Q 2 - 100 Q + 7 = 0

Passo 1

Quanta equação! No final das contas, o enunciado quer saber qual delas encontra a vazão de operação. Para isso, vamos lembrar o seguinte:

O ponto de operação é aquele em que a carga do sistema coincide com a carga da bomba

H s i s t e m a = H b o m b a

A carga da bomba H B o enunciado já deu e é H B Q = - 5000 Q 2 - 100 Q + 7

Nossa missão então é encontrar o H s i s t e m a . Na teoria, nós vimos que se aplicarmos a equação da energia, conseguimos encontrar a carga do sistema assim:

H s i s t e m a =   p 2 ρ g + V - 2 2 2 g + z 2 -   p 1 ρ g + V - 1 2 2 g + z 1 + h p

Opa! Hora de definir quem é nosso volume de controle (VC). Vamos escolher o VC que vai de uma lagoa até a outra, passando por toda a tubulação e pela bomba.

Com isso, a superfície de controle 1 vai ser a superfície da lagoa inicial e superfície de controle 2 será a superfície da lagoa final (que recebe o fluido)

Logo, já podemos dizer que p 1 = p 2 = p a t m , pois as superfícies estão submetidas à pressão atmosférica. Além disso V 1 = V 2 ≅ 0   m / s pois nas superfícies a área é tão grande que a velocidade é considerada nula. ( V = Q / A )

Além disso, o enunciado diz que não há diferença de elevação, logo z 1 = z 2

Substituindo todos esses dados na expressão de H s i s t e m a , simplificamos!

H s i s t e m a =   h p

Passo 2

Hora de calcular essa perda de carga. Ela é definida assim

h p = f L D V 2 2 g

Sendo que a velocidade é

V =   Q A = Q π D 2 / 4 = 4 Q π D 2

Substituindo na perda de carga

h p = f L D 4 Q π D 2 2 2 g

Pelo enunciado f = 0,02 ,   L = 90   m ,   D = 100   m m = 0,1   m ,   π ≅ 3 ,   g ≅ 10   m / s 2

h p = 0,02 90 0,1 4 Q π 0,1 2 2 20

h p = 16000 Q 2

Encontramos então a carga do sistema

H s i s t e m a =   16000 Q 2

Passo 3

No ponto operação, igualamos as cargas

H s i s t e m a = H b o m b a

- 5000 Q 2 - 100 Q + 7 = 16000 Q 2

- 21000 Q 2 - 100 Q + 7 = 0

Que é a equação de segundo grau que soluciona a vazão de operação do sistema. A resposta é a letra D.

Resposta

Alternativa (D)

Exercício Resolvido #6

Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 8ª ed. Gen LTD Editora, 2014, pp. 704, ex. 10.23 | Lista Mecânica dos Fluidos UFRJ

(Adaptada) Dados de testes realizados com uma bomba Peerless de sucção axial do tipo 1430, operando a 1750 rpm, com um rotor de diâmetro 14,0 pol estão na tabela abaixo:

Faça um gráfico representando a curva de operação da bomba e a sua eficiência, se o fluido é a água. Localize no gráfico o ponto de operação de melhor eficiência (BEP ou best efficiency point). Dica: a potência da bomba em hp pode ser calculada através da carga em ft que ela adiciona ao fluido.

Passo 1

E aí, jovem padawan! Esse exercício pede duas coisas: o gráfico da curva de operação e o da eficiência.

Vamos começar pela curva de operação, que é o gráfico da carga da bomba (H) pela vazão (Q). O enunciado já deu uma tabela com esses dois dados. Com isso, vamos apenas plotar cada par (x, y). Nesse caso: (Q, H).

Pontos da curva: (198, 270), (195, 420), (178, 610), (165,720), (123,1000)

Tcharam! E a primeira parte está respondida!

Passo 2

Agora vamos ao gráfico da eficiência. Como calcular essa variável? Repara que ainda não utilizamos os dados de potência da tabela do enunciado e é por aí mesmo que vamos resolver!

A potência do motor W ˙ m é definida por:

W ˙ m = W ˙ s η =   ρ . Q . g . H b o m b a η    

Isolando a eficiência η da bomba

η =   ρ . Q . g . H b o m b a W ˙ m

Os valores de carga da bomba, vazão volumétrica e potência do motor são dados na tabela. Além disso, ρ é a massa específica da água e g é a gravidade. Ou seja, temos todos esses valores e podemos calcular a eficiência para cada par de pontos (Q, H)

Mas antes, só um detalhe! A carga da bomba foi fornecida em pés, a vazão em galões por minuto e a potência em horse-power. Essas medidas não estão no mesmo sistema. =O Então, vamos passar tudo pro Sistema Internacional (SI) e sermos felizes!

Aplicando os fatores de conversão para o SI:

η =   ρ g . 0,0000631 m 3 / s g p m × Q 0,3048 m f t ×   H b o m b a 745,7 W h p   × W ˙ m

Sabendo que ρ g = 9,8 × 10 3   k g / ( m 2 s 2 )

η =   2,528 × 10 - 4 Q H B W ˙ m

Aplicando essa fórmula para cada ponto Q , H B , W ˙ m , temos a eficiência em cada ponto. Vamos fazer mais uma linha na tabela do enunciado:

Para fazer a curva de eficiência da bomba, vamos aproveitar o mesmo gráfico da curva de operação e colocar a eficiência do lado direito na vertical. A curva laranja é de Eficiência versus Vazão Volumétrica:

Passo 3

O ponto de operação com maior eficiência conforme calculado na tabela e como pode ser observado no gráfico corresponde a Q = 610   g p m , H B = 178   f t , W ˙ m = 35   h p e a eficiência é de 78%

Resposta

Eficiência de 78%

Exercício Resolvido #7

Concurso Petrobras 2018 – Engenheiro de Processamento Júnior

Um engenheiro pretende utilizar uma bomba cuja curva característica segue a parábola H = H 0 - a Q 2 , onde H 0 = 100   m e a =   10 5 s 2 / m 5 . Esse engenheiro pretende transportar um fluido entre dois tanques separados por uma altura de 10 m.

Desconsiderando os efeitos das perdas de carga maiores e menores na tubulação que conecta os tanques, e sabendo que a tubulação tem diâmetro constante, a vazão volumétrica, em m³/s, e a altura de carga no ponto de operação para realizar o transporte do fluido entre os dois tanques, em m, são, respectivamente,

(A) 3 x 10-3 e 10

(B) 3 x 10-1 e 100

(C) 9 x 10-2 e 10

(D) 9 x 10-3 e 90

(E) 3 x 10-2 e 10

Passo 1

Esse exercício pede a vazão volumétrica Q e a carga da bomba no ponto de operação. Nesse ponto, sabemos que a carga da bomba H B e a carga do sistema H S   se igualam

H s i s t e m a = H b o m b a

O enunciado já fornece a expressão da carga da bomba: H = H 0 - a Q 2 . Sabendo que H 0 = 100   m e a =   10 5 s 2 / m 5 , então, podemos escrever

H b o m b a = 100 - 10 5 Q 2

Beleza! Agora precisamos achar o H s i s t e m a . Como vimos na teoria, usando a equação da energia, ele pode ser expressado assim:

H s i s t e m a =   p 2 ρ g + V - 2 2 2 g + z 2 -   p 1 ρ g + V - 1 2 2 g + z 1 + h p

Para reorganizar essa expressão aí precisamos conhecer nosso volume de controle (VC). O VC vai de um tanque até o outro, passando por toda a tubulação e pela bomba.

Então, as superfícies de controle 1 e 2 serão as superfícies dos tanques. Assim, p 1 = p 2 = p a t m , já que as superfícies estão expostas à pressão atmosférica. Além disso, em superfícies, a área é grande e assim V 1 = V 2 ≅ 0   m / s .

Outras informações que o enunciado traz é que os “tanques separados por uma altura de 10 m”. Em outras palavras, digo, em equação:

z 2 - z 1 = 10   m

Quando o enunciado diz para desconsiderar perdas de cargas podemos escrever que

h p = 0   m

E agora sim, já temos todas as variáveis que precisamos para calcular H s i s t e m a

H s i s t e m a =   p 2 ρ g + V - 2 2 2 g + z 2 -   p 1 ρ g + V - 1 2 2 g + z 1 + h p

Substituindo

H s i s t e m a =   p a t m ρ g + 0 2 g + z 2 -   p a t m ρ g + 0 2 g + z 1 + 0

H s i s t e m a =   ( z 2 - z 1 )

H s i s t e m a =   10   m

Legal! Deu até um número. Estamos prontos para trabalhar no ponto de operação.

Passo 2

No ponto de operação sabemos que

H s i s t e m a = H b o m b a

10 = 100 - 10 5 Q 2

9 0 = 10 5 Q 2

90 = 10 5 Q 2   ⇒ Q 2 = 9 × 10 - 4

Q   = 3 × 10 - 2 m 3 / s

Analisando as alternativas, com esse resultado já podemos dizer que a resposta é a letra E.

Vamos conferir se a carga da bomba está correta? Substituindo Q   = 3 × 10 - 2 m 3 / s na curva característica da bomba

H b o m b a = 100 - 10 5 Q 2

H b o m b a = 100 - 10 5 3 × 10 - 2 2 = 100 - 90

H b o m b a = 10   m

Logo, a carga da bomba é 10 m na vazão de 3 × 10 - 2 m 3 / s , o que confirma que a letra E está correta.

Resposta

Alternativa (E) 3 x 10-2 e 10

Exercício Resolvido #8

Fox, McDonald, Pritchard. Introdução à Mecânica dos Fluidos, 6ª ed. Gen LTD Editora, 2006, ex. 10.56 | Lista Mecânica dos Fluidos UFRJ

(Adaptada) Uma bomba Peerless horizontal de carcaça bipartida do tipo 4AE12, com diâmetro de rotor 11 in., e operando a 1750 rpm, leva água de um reservatório para outro; eles são conectados por 200 ft de tubo de 4 in., seguidos de 200 ft de tubo de 3 in. em série (os tubos são de ferro forjado). A diferença de altura entre os reservatórios é de 10 ft. Despreze as perdas localizadas. Calcule a carga do sistema para uma vazão Q = 0,001 m³/s.

Passo 1

Novamente temos um problema em que uma bomba auxilia o escoamento de um fluido de um reservatório para o outro. Esse exercício pede para encontrarmos a carga do sistema H s i s t e m a para uma determinada vazão.

Para isso, vamos utilizar a definição de H s i s t e m a pela equação da energia

H s i s t e m a =   p 2 ρ g + V - 2 2 2 g + z 2 -   p 1 ρ g + V - 1 2 2 g + z 1 + h p

O volume de controle escolhido engloba os dois reservatórios passando pelas duas tubulações e pela bomba.

Com essa escolha, assumimos que

p 1 = p 2 = p a t m

V 1 = V 2 ≅ 0   m / s

pois as superfícies estão submetidas à pressão atmosférica e nelas a área é tão grande que a velocidade é aproximadamente zero. ( V = Q / A )

Sobre as elevações o enunciado diz que z 2 - z 1 = 10   f t = 3,048   m

Atualizando a equação do H s i s t e m a

H s i s t e m a =   z 2 - z 1 + h p

H s i s t e m a = 3,048   + h p

Passo 2

Para calcular essa perda de carga, vamos lembrar por onde esse fluido está passando. São 2 tubulações de ferro forjado em série: uma de 4 polegadas de diâmetro e 200 ft de comprimento e outra com o mesmo comprimento, mas com diâmetro de 3 polegadas.

h p = f A L A D A V A - 2 2 g + f B L B D B V B - 2 2 g

Passando para o Sistema Internacional

L A =   L B = 200   f t 0,3048   m 1   f t = 60,96   m

D A = 4   i n 0,0254   m 1   i n = 0,1016   m

D B = 3   i n 0,0254   m 1   i n = 0,0762   m

Para calcular as velocidades, vamos usar a vazão volumétrica

V =   Q A = Q π D 2 / 4 = 4 Q π D 2

Na tubulação A

V A =   4 Q π D A 2 = 4 × 0,001 π 0,1016 2

V A = 0,1234   m / s

Na tubulação B

V B =   4 Q π D B 2 = 4 × 0,001 π 0,0762 2

V B = 0,2194   m / s

Para encontrar a perda de carga está faltando saber quem é o fator de atrito. Vamos resgatar o que aprendemos no assunto Escoamento Interno Viscoso e Incompressível.

Dica: Se quiser, dê uma olhadinha lá depois para dar aquela revisada, mas fica tranquilo que vou explicar um pouquinho aqui também!

Passo 3

Para sabermos se vamos calcular o fator de atrito por f =   64 R e ou pelo Diagrama de Moody, precisamos saber se o escoamento é laminar ou turbulento. Isso é uma tarefa para o senhor Reynolds!

R e =   ρ V D μ

Na tubulação A

R e A =   ρ V A D A μ = 1000 × 0,1234 × 0,1016 0,001

R e A = 12537 > 2300

Logo, vamos calcular f A pelo Diagrama de Moody pois é um escoamento turbulento

Na tubulação B

R e B =   ρ V B D B μ = 1000 × 0,2194 × 0,0762 0,001

R e A = 16718 > 2300

Diagrama de Moody para a parte B também!

Além do Reynolds, precisamos da rugosidade relativa para calcular o fator de atrito por Moody. A rugosidade e do ferro forjado é aproximadamente 0,05 mm

e = 0,046   m m = 0,000046   m

O cálculo da rugosidade relativa é e / D

e D A = 0,000046 0,1016 ≅ 0,0005

e D B = 0,000046 0,0762 ≅ 0,0006

Com os pares rugosidade relativa e Reynolds, usamos o Diagrama de Moody

e D A = 0,0005       R e A = 12537 ≅ 1,3 × 10 4

e D D = 0,0006       R e B = 16718 ≅ 1,7 × 10 4

De verde, os dados da tubulação A. Em azul, a tubulação B.

Do lado esquerdo do Diagrama de Moody, se faz a leitura dos fatores de atrito

f A = 0,036

f B = 0,038

E assim, finalmente, podemos calcular a perda de carga

h p = f A L A D A V A - 2 2 g + f B L B D B V B - 2 2 g

Substituindo os valores encontrados

h p = 0,036 60,96 0,1016 0,1234 2 2 × 9,8 + 0,038 60,96 0,0762 0,2194 2 2 × 9,8

h p = 0,036 60,96 0,1016 0,1234 2 2 × 9,8 + 0,038 60,96 0,0762 0,2194 2 2 × 9,8

h p = 0,01678 +   0,07466

h p = 0,01678 +   0,07466

h p = 0,09144   m

Passo 4

Finalmente, vamos calcular a carga do sistema pedida no enunciado :D

H s i s t e m a = 3,048   + h p

H s i s t e m a = 3,048   + 0,09144

H s i s t e m a = 3 , 14   m

Resposta

A carga do sistema para Q = 0,001 m³/s é H s i s t e m a = 3,14   m

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