Fórmula do Centro de Gravidade

Resumo

O Centro de Gravidade, é praticamente um irmão do Centro de Massa, por isso nos nossos exercícios podemos utilizar as expressões do cálculo do Centro de Massa para encontrar o Centro de Gravidade:

$x_{C M} = \frac{1}{m_{T}} \times \sum_{i = 1}^{n} m_{i} x_{i}$

$y_{C M} = \frac{1}{m_{T}} \times \sum_{i = 1}^{n} m_{i} y_{i}$

Essas expressões de $x_{C M} e y_{C M}$ encontram através de uma média ponderada o Centro de Massa do objeto e consequentemente o Centro de Gravidade: $(x_{C M}, y_{C M})$ onde $m_{T}$ é a massa total do corpo sendo estudado, ou seja, $m_{1} + m_{2} + \dots + m_{n}$ . Podemos considerar o centro de gravidade como o ponto em que podemos concentrar todo o Peso do objeto.

É importante dizer que as situações em que o Centro de Massa não coincide com o Centro de Gravidade são aquelas em que o objeto, devido a sua extensão, seja afetado por diferentes valores da gravidade. Um exemplo disso são os arranha céus, devido ao seu enorme tamanho as partes mais altas, por estarem mais distantes da terra, sofrem uma atração da gravidade menor do que as partes mais próximas do solo, logo isso desloca o Centro de Gravidade um pouco para baixo, em relação ao Centro de Massa.

Para que serve?

Nós sabemos que o $P = m . g$ e que todo corpo possuí massa, então caso o corpo esteja sobre a influência de alguma força gravitacional, podemos definir que o centro de gravidade é o ponto do objeto que concentra todo o peso desse objeto. Muitas vezes existe uma confusão acerca do centro de massa e do centro de gravidade, para termos práticos podemos dizer que eles coincidem. Bora fazer um exemplo para deixar tudo bem claro!

Seja o sistema de três partículas de pesos $P_{1}, P_{2} e P_{3}$ conforme mostrado na figura a baixo, calcule o Centro de Gravidade desse sólido.

Para encontrar a coordenada $x_{g}$ do centro de gravidade podemos pensar que a soma de $P_{1}, P_{2} e P_{3},$ ponderadas com suas distâncias relativas ao eixo x nos dará esse resultado:

$P . x_{g} = P_{1} . x_{1} + P_{2} . x_{2} + P_{3} . x_{3}$

Como sabemos que $P = m . g,$ temos:

$x_{g} = \frac{m_{1} . g . x_{1} + m_{2} . g . x_{2} + m_{3} . g . x_{3}}{m . g}$

Como $g$ aparece no numerador e no denominador podemos cancelá-lo, e como $m$ é a massa total temos que $m = m_{1} + m_{2} + m_{3}$ , logo:

$x_{g} = \frac{m_{1} . x_{1} + m_{2} . x_{2} + m_{3} x_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}}$

Então como nossas suspeitas apontavam, $x_{g} = x_{C M}$ . E o mesmo raciocínio pode ser seguido para calcular $y_{g} = y_{C M}$ :

$P . y_{g} = P_{1} . y_{1} + P_{2} . y_{2} + P_{3} . y_{3}$

$y_{g} = \frac{m_{1} . y_{1} + m_{2} . y_{2} + m_{3} . y_{3}}{m_{1} + m_{2} + m_{3}}$

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